13. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Основное допущение, лежащее в основе рассматриваемых здесь экспериментальных методов определения характеристик систем, состоит в предположении о линейности исследуемой системы и возможности многократной подачи на ее вход пробного сигнала при нулевых начальных условиях.

Конечность интервала изучения нестационарной системы делает рассматриваемые методы применимыми для определения характеристик не только устойчивых, но и асимптотически неустойчивых (абсолютно или на интервале) систем управления.

Определение нестационарной сопряженной передаточной функции сводится к нахождению конечного числа ее ординат . Допустим, что мы умеем находить реакцию исследуемой системы на сигнал заданный на отрезке и являющийся нестационарной функцией, принадлежащей ортонормированной системе где параметр. Тогда задача оказывается решенной, ибо, как следует из формулы (IV.89), эта реакция системы является ординатой нестационарной сопряженной передаточной функции .

Итак, подавая последовательно на вход системы функции с индексами найдем ординат нестационарной сопряженной передаточной функции Естественно, что при подаче любой функции исследуемая система должна иметь нулевые начальные условия, а параметры системы меняться во всех экспериментах одинаково.

Покажем теперь, как найти реакцию системы на нестационарную ортогональную функцию. Сразу заметим, что, поскольку реакция системы является функцией двух переменных, то может стоять задача ее определения как в виде поверхности в координатах так и в виде отдельных сечений этой поверхности. Наиболее важными являются сечение при фиксированной переменной и сечение при определяющие соответственно сечения нестационарной сопряженной передаточной функции

Способ определения сечения вытекает из очевидного соотношения

где — неизвестная импульсная переходная функция исследуемой системы и состоит в подаче на вход системы стационарной функции и непосредственном измерении ее реакции, которая совпадает с искомой функцией Совокупность сечений позволяет найти коэффициенты в виде поверхностей.

Наиболее просто задача определения коэффициентов Фурье в виде поверхностей решается в случае, когда функции базисной системы являются вырожденными. В качестве примера рассмотрим применение для указанной задачи ортонормированных на отрезке полиномов Лежандра.

Ординаты сопряженной передаточной функции на отрезке определяются выражением

Подставляя в формулу (IV. 147) выражение ортонормированных полиномов Лежандра (IV.7), получим

где

есть реакции исследуемой системы на воздействия .

Таким образом, для определения ординаты нестационарной сопряженной передаточной функции относительно ортонормированных на отрезке полиномов Лежандра в виде поверхности нужно записать реакций исследуемой системы на воздействия где затем провести вычисления по формуле (IV. 148).

Определение двумерной нестационарной передаточной функции сводится к измерению конечного числа ее ординат

Пусть на систему с нулевыми начальными условиями воздействует сигнал где — параметр. Из формулы (IV.91) следует, что ордината спектральной характеристики выходного сигнала системы определяется формулой

откуда

Таким образом, алгоритм определения ординат двумерной нестационарной передаточной функции состоит в следующем. На вход исследуемой системы подается нестационарная функция где принадлежит ортонормированной на отрезке системе . С помощью анализатора спектра находятся коэффициенты Фурье реакции системы на это воздействие, причем разложение выходного сигнала производится на отрезке относительно ортонормироваиной системы Далее по формуле (IV. 150) вычисляются искомые ординаты двумерной нестационарной передаточной функции.

Ординаты двумерной передаточной функции как функции времени наиболее просто вычислять, если функции базисной системы являются вырожденными. Продемонстрируем в связи с этим применение ортонормированной на нестационарном квадрате системы где — нестационарные полиномы Лежандра.

Реакцию исследуемой системы на нестационарную функцию определим по формуле (IV. 148). Учитывая, что здесь найдем

Вводя обозначение ординаты спектральной характеристики реакции системы на сигнал

из формулы (IV. 151) получим

Таким образом, ординаты двумерной нестационарной передаточной функции, определенной на квадрате

относительно системы функций находятся по формуле (IV. 153), после предварительного вычисления с помощью анализатора спектра коэффициентов Фурье реакций системы на сигналы

Математические модели систем. Экспериментальные характеристики позволяют построить математические модели исследуемых систем.

Двумерная нестационарная передаточная функция определяет математическую модель системы, изображенную на рис. IV. 14, которая построена на основе формул (IV.88), (IV.91) и (IV.93) с учетом того, что число измеренных ординат передаточной функции ограничено.

Рис. IV. 14. Математическая модель системы, построенная по ее двумерной нестационарной передаточной функции

Математическая модель представлена тремя блоками. Блок 1 является анализатором спектра Фурье входного сигнала системы по нестационарному ортонормированному базису Блок 2 может быть назван преобразователем спектра Фурье. На входоз этого блока поступают ординаты спектральной характеристики входного сигнала выходов снимаются ординаты спектральной характеристики выходного сигнала системы по нестационарному ортонормированному базису Блок 5 является синтезатором

выходного сигнала по его спектральной характеристике. В этом блоке осуществляется умножение ординат на функции и суммирование произведений.

Рис. IV. 15. Математическая модель системы, построенная по ее нестационарной нормальной передаточной функции

Нестационарная нормальная передаточная функция определяет математическую модель системы, изображенную на рис. IV. 15; последняя построена в соответствии с формулами (IV.94) и (IV.93).

Рис. IV. 16. Математическая модель системы, построенная по ее нестационарной сопряженной передаточной функции

Математическая модель представлена двумя блоками. Блок состоящий из параллельных ветвей с импульсными переходными функциями выдает на своих выходах ординаты спектральной характеристики

выходного сигнала системы по нестационарному ортонормированному базису Блок этот совмещает в себе функции анализатора и преобразователя спектра математической модели, изображенной на рис. IV. 14, блок 2— синтезатор выходного сигнала, аналогичный блоку 3, изображенному на рис. IV. 14.

Нестационарная сопряженная передаточная функция определяет математическую модель системы, изображенную на рис. IV. 16, которая построена на основе формул (IV.88) и (IV.89). Математическая модель представлена двумя блоками. Блок 1 является анализатором спектра Фурье входного сигнала системы. Блок 2 совмещает функции преобразователя спектра и синтезатора выходного сигнала. В этом блоке производится умножение ординат спектральной характеристики входного сигнала на ординаты нестационарной сопряженной передаточной функции