3. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОЦЕНКА ИХ С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММ КАЧЕСТВА

С достаточной для практики точностью симметричный колебательный переходный процесс в нелинейных автоматических системах часто может быть описан выражением [5]

Причем в отличие от линейных систем показатель затухания колебаний и частота колебаний системы во время переходного процесса не являются постоянными величинами. Поэтому выражение для амплитуды колебаний А имеет вид

где — начальное значение амплитуды колебаний, определяемое начальными условиями.

В частном случае для линейных систем, когда получим выражение

Для нелинейных систем текущее значение частоты колебаний имеет вид

Для линейных систем имеем Таким образом, определение симметричного колебательного переходного процесса в нелинейных автоматических системах ищется в виде

Искомыми неизвестными здесь являются показатель затухания амплитуда А и частота колебаний .

Показатель затухания X может характеризовать не только затухающие, но и расходящиеся переходные процессы. Согласно выражению (XI.52), при переходный процесс затухает а при расходится

Одним из условий применимости метода гармонической линеаризации для исследования переходных процессов в нелинейных системах является требование медленности изменения величин и со во времени по сравнению с периодом колебаний.

Существенно, что указанное условие позволяет рассматривать и быстро затухающие колебания, так как быстрота затухания определяется величиной показателя , а не ее изменением. На быстроту изменения амплитуды А ограничений не накладывается (нужно лишь, чтобы весь процесс затухания протекал быстрее, чем за один период, иначе вообще не будет колебаний).

В связи с этим формулы гармонической линеаризации при исследовании переходных процессов имеют некоторую особенность по сравнению с формулами для исследования автоколебаний. Как это следует из выражений (XI.51) и (XI.54),

откуда

Так как то первая «гармоника» (затухающая или расходящаяся) нелинейной функции при будет

где

Следовательно, здесь можно целиком использовать прежние формулы для для различных конкретных нелинейностей (приложения I и II табл. 1), учитывая только новую форму замены нелинейной функции (XI.57). Для нелинейностей же эти формулы будут другими [7].

Таким образом, при исследовании переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнением

после замены получим

Аналогично линейной теории симметричный колебательный переходный процесс в гармонически линеаризованной системе (XI.60) можно находить путем определения пары комплексных корней характеристического уравнения, но с медленно меняющимися Ниже рассмотрены способы решения задачи,

наиболее целесообразные с точки зрения практического применения [8].

При проектировании наибольший интерес представляет задача синтеза, т. е. задача определения параметров системы, обеспечивающих предъявленные к системе технические требования. Поэтому исследование будет проводиться с точки зрения оценки влияния какого-либо параметра на показатель затухания и частоту колебаний

Первый способ. Произведя в уравнении (XI.60) замену получим

что соответствует наличию пары комплексных корней в характеристическом уравнении.

Подстановку удобно производить не непосредственно, а с помощью разложения в ряд, например,

При достаточно малых значениях более удобно разложение в ряд вида

Индексы 5 и обозначают соответственно подстановки

В уравнении (XI.61) выделяются вещественная и мнимая части, что дает два уравнения

где — определяемый параметр, изменением которого необходимо обеспечить требуемые качества переходного процесса.

Из уравнений (XI.64) часто удается аналитически исключить частоту колебаний и выразить

По формуле (XI.65), полагая можно построить зависимость или (рис. 10, а). После этого легко вычислить значения (рис. X 1.10, б) вдоль каждой линии Если же параметр входит только в одно из уравнений (XI.64), например,

то исключать аналитически нет необходимости, так как по

второму из уравнений (XI.66) непосредственно строится график (рис. XI.10, б), а затем уже определяются зависимости или . После построения указанных выше графиков для любого из значений параметра к легко построить зависимости которые являются характеристиками переходного процесса.

Второй способ. Если применить первый способ не удается, то обычно можно из каждого уравнения (XI.64) получить выражение для определяемого параметра

В уравнениях (XI.67) строим зависимости к при различных значениях Точки пересечения кривых позволяют получить на плоскости к, Л соответствующую линию повторив подобное построение для других задаваемых значений Е, получим искомые зависимости и

Рис. XI.10. Зависимости амплитуды и частоты колебаний от параметров системы при различных значениях показателя затухания: а) при различных ; б) при различных ; в) при различных и

Третий способ. Если выражения (XI.64) написать не удается, что бывает редко, то можно применить более сложное построение. Записав уравнение системы (XI.61) в виде

где

и приняв строим для разных А серию кривых на комплексной плоскости (рис. XI.11, а). Точки их пересечения с кривой на той же плоскости дают значения амплитуды колебаний А и частоты колебаний а). В результате получается одна линия на плоскости к, А. Повторив то же построение для других значений , определим искомые зависимости со при разных значениях к. Используя логарифмические характеристики, можно несколько упростить построения.

Рис. XI.11. (см. скан) Определение зависимостей на комплексной плоскости: а) ; б) величине предпоследнего определителя Гурвица; в) метод построения зависимостей

Четвертый способ. Характеристическое уравнение системы можно записать развернуто в виде

где все коэффициенты или часть из них являются функциями искомой величины А. В более сложных случаях они могут зависеть также от

Разложим левую часть уравнения (XI.68) на два сомножителя

последний из которых соответствует основной паре комплексных

корней определяющей колебательный переходный процесс в исследуемой системе. Тогда найдем

Первый из сомножителей (XI.69) должен иметь значительно большие по модулю корни, чем второй, чтобы действительно колебательное решение, соответствующее искомым корням при принятых начальных условиях при было основным.

Коэффициенты разложения (XI.69) связаны следующими соотношениями:

Для нахождения величин необходимо, очевидно, в формулах (XI.70) выразить коэффициенты через коэффициенты первоначального уравнения (XI.68).

В частности, для характеристического уравнения третьей степени

имеем

Чтобы значения из соотношений (XI.70) определяли в основном решение, а третий корень уравнения можно было не учитывать, нужно иметь

этим и определяется верхний предел для значений

Составим предпоследний определитель Гурвица

Но так как из уравнений (XI.72) и (XI.70) имеем то полученное выше выражение можно записать в виде

Далее из соотношений (XI.72) имеем

поэтому из выражений (XI.70) получим формулу для квадрата частоты

Формулы (XI.74) и (XI.75) позволяют оценить характер затухания нелинейных колебательных переходных процессов для систем третьего порядка.

Аналогично для системы четвертого порядка разлагаем

причем

В этом случае также требуется соблюдение условия (XI.73). Исходя из предпоследнего определителя Гурвица, аналогичным путем находим

где

а затем

Формулы (XI.78) и (XI.79) позволяют оценить качество переходных процессов в нелинейных системах четвертого порядка.

Порядок решения задачи, например, для системы третьего порядка с однозначной нелинейностью, когда коэффициенты характеристического уравнения не зависят от , может быть следующим. Используя условие (XI.73) по формулам (XI.74) и (XI.75), приближенно находим:

где коэффициенты правых частей зависят от параметров системы, а некоторые из них также и от амплитуды . Для предварительной оценки качества переходного процесса при выборе параметров этот результат может оказаться вполне достаточным. В противном случае можно уточнить значение Е, подставив найденное приближенно в правую часть полной формулы (XI.74), а затем по формуле (XI.75) найти более точное значение о.

Графическим способом можно решать непосредственно полное уравнение (XI.74) для систем третьего порядка или (XI.78) для системы четвертого порядка, представив их в виде

где — знаменатель формулы (XI.74) или (XI.78).

По точкам пересечения соответствующих линий (рис. XI.11,6) определим искомую зависимость а затем по формуле (XI.74)

или (XI.78) вычислим . В общем случае график (рис. XI.11, б) нужно строить отдельно для каждого значения выбираемого параметра Однако, если в системе третьего порядка входит только в коэффициент возможно выполнение всех построений на одном графике (рис. XI. 11, в).

В более сложных случаях целесообразно применять метод последовательных приближений с некоторыми упрощениями (см. § 4, пример 5).

Диаграмма качества нелинейных переходных процессов. Определение параметров нелинейных автоматических систем с учетом требуемого качества переходных процессов целесообразно производить путем построения так называемых диаграмм качества нелинейных переходных процессов

Рис. XI. 12. Диаграмма качества затухания нелинейных переходных процессов

Диаграмма качества представляет собой семейства линий равного затухания и линий равного значения частоты колебаний построенных на плоскости в прямоугольных координатах. Одной из координат всегда является амплитуда колебаний , а другой — параметр системы, например, Выбирая последний, можно получить необходимое качество переходного процесса. Диаграмма качества нелинейных переходных процессов показывает, как изменяются быстрота затухания переходного процесса и частота колебаний системы при изменении амплитуды колебаний. Такая диаграмма (рис. XI. 12) позволяет более удобно производить синтез нелинейных автоматических систем.

Особое значение имеют две линии: и Первая из них соответствует периодическому решению а по второй можно ориентировочно оценивать границу между монотонными

и колебательными переходными процессами в области устойчивости нелинейной системы.

Если линии расположены ниже, чем выше, то периодическое решение устойчиво, т. е. оно соответствует автоколебаниям. Тогда линия (рис. XI.12) непосредственно дает нам зависимость амплитуды автоколебаний А от параметра Кроме того, с помощью линии в этом случае определяется колебательная граница устойчивости (рис. XI. 12) нелинейной системы по параметру Левее значения на рис. XI. 12 будет область абсолютной устойчивости, так как переходные процессы затухают при любом начальном отклонении, причем дается количественная оценка быстроты затухания (величина По величине же со можно оценить при этом и число колебаний за время затухания переходного процесса от заданной начальной до заданной конечной амплитуды.

Если же линии расположены выше, чем ниже, то периодическое решение неустойчиво. Линия в этом случае дает границу начальных отклонений, до которой равновесное состояние нелинейной системы устойчиво (устойчивость «в малом» и неустойчивость «в большом»).

Итак, построив диаграммы качества затухания нелинейных переходных процессов по разным параметрам системы, можно произвести выбор наивыгоднейших параметров с этой точки зрения.

При необходимости изменения структуры системы путем введения корректирующих устройств следует построить такие диаграммы по основным параметрам вводимых устройств.

Построение диаграммы качества можно произвести по любому из четырех способов, описанных выше, что ясно из изложения этих способов. Во многих случаях целесообразно также построить для ряда отдельных значений параметра зависимости

Диаграмма качества затухания нелинейных процессов или зависимости дает возможность приближенно определить все качества переходного процесса.

Время затухания переходного процесса на заданном интервале (от амплитуды до ) определяется в соответствии с выражениями (XI.52) формулой

Однако в большинстве практических задач зависимость имеет достаточно сложный вид, и точное определение величины интеграла связано со значительными затруднениями.

В данном случае более целесообразным является определение

в виде суммы считая на каждом из отрезков величину постоянной:

Быстро, но более грубо длительность переходного процесса может определяться по среднему значению на всем интервале изменения амплитуды колебаний. Тогда

Однако при использовании среднего значения необходима осторожность, когда имеется значительное изменение . Важно иметь в виду, что линия является границей между затухающими и расходящимися процессами. Поэтому процесс не переходит через линию а либо асимптотически приближается к ней, либо удаляется от нее.

Иногда бывает достаточно оценить ожидаемое время переходного процесса «сверху» и «снизу». Для этого необходимо в выражение (XI.83) подставить минимальное и максимальное значения в интервале амплитуд колебаний от до При этом

Число колебаний в переходном процессе за время с учетом выражений (XI.53) определяют по формуле

Вычисление интеграла связано с затруднениями. Для облегчения вычислений можно воспользоваться следующими соображениями. За время одного периода амплитуда колебаний изменяется на

где средние значения за данный период колебаний.

Если определяется число колебаний при изменении амплитуды от до необходимо последовательно определять для каждого периода колебаний и складывать с предыдущими значениями до тех пор, пока сумма не будет равна разности

Пользуясь средними значениями и на всем данном участке до можно получить более грубо число колебаний

Если нужно, чтобы процесс затухал за одно колебание то средние значения будут:

Для определения величины перерегулирования нужно найти значение амплитуды А. Из рис. XI. 13 имеем

Рис. XI. 13. Кривая переходного процесса

Но так как, согласно формуле (XI.84),

то, пользуясь средними значениями, получим величину перерегулирования в виде

которой и можно воспользоваться в прикидочных расчетах.

Если задано максимально допустимое перерегулирование то, считая надо, согласно формуле (XI.90), потребовать, чтобы

Кроме того, могут применяться частотные оценки качества нелинейных систем по показателю колебательности, указанные в гл. X.