1. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И РАСЧЕТ ОШИБОК СЛЕЖЕНИЯ

Пусть на вход любого из звеньев нелинейной системы приложено внешнее синусоидальное воздействие

Рассмотрим широкий класс автоматических систем, уравнения которых могут быть приведены к виду

Будем искать установившиеся вынужденные колебания для переменной х в форме

где искомыми неизвестными будут амплитуда А и сдвиг фазы при заданной частоте

Чтобы решить задачу тем же приемом, который использовался при отыскании автоколебаний [4], выразим величину через х. Согласно выражению (XI.1) имеем

Подставив это выражение в уравнение (XI.2), будем иметь

Таким образом, задача определения вынужденных одночастотных колебаний сводится к решению однородного нелинейного

уравнения (XI.5) как и при определении автоколебаний, но с неизвестными вместо , что упрощает решение.

На уравнение (XI.5) накладываются все ограничения, которые были оговорены в предыдущей главе при определении автоколебаний. Нелинейность должна допускать симметричные колебания, т. е. не давать на выходе постоянной составляющей (о несимметричных вынужденных колебаниях см. § 2).

Г армоническая линеаризация нелинейности производится в прежнем виде

где те же, что и в § 1 гл. X (см. также приложения I и II), причем

В случае сложных нелинейностей порядок расчета сохраняется без изменений, при этом только выражения для примут вид

Подставив выражение (XI.6) в уравнение (XI.5), получим характеристическое уравнение

Заменив X на что соответствует отысканию синусоидального решения (XI.3), найдем

Так как легко перейти от соотношения (XI.8) к выражению

Дальнейшее решение задачи возможно либо графическим, либо аналитическим путем [4], [7].

При графическом способе на комплексной плоскости (рис. строим для каждого заданного значения частоты при заданных параметрах системы кривую

соответствующую левой части равенства (XI.9). Правая часть, выражения (XI.9) представляет собой окружность радиуса Пересечение окружности с кривой дает решение задачи, причем в точке пересечения по дуге окружности определяется фазовый сдвиг а по кривой — величина амплитуды А вынужденных колебаний.

Для получения частотных амплитудной и фазовой характеристик замкнутой нелинейной системы (рис. XI.2) нужно построить серию кривых при разных постоянных значениях (рис. XI.I, б).

Рис. XI. 1. Графическое определение вынужденных колебаний построение частотных характеристик замкнутой нелинейной системы

Если таким же путем строить кривые при разных постоянных значениях какого-нибудь параметра (рис. XI. 1, б), можно определить зависимость А или от любого параметра системы, входящего в выражение

Рис. XI.2. Частотные характеристики

Для отыскания зависимости А от амплитуды внешнего воздействия нужно нанести серию концентрических окружностей разных радиусов При этом возможны два случая: когда имеется точка пересечения окружности с кривой при любой величине радиуса начиная от нуля; когда точка пересечения окружности с кривой существует только при значениях радиуса превышающего некоторые значения А в В последнем случае одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия возможны только тогда, когда амплитуда внешнего воздействия превосходит некоторое пороговое значение.

Графическое определение ясно из рис. XI.3. Выше лежит так называемая область захватывания.

Аналитический метод определения вынужденных колебаний сводится, согласно выражению (XI.9), к вычислению амплитуды и фазы по формулам

где — соответственно вещественные и мнимые части выражений

При этом вычисления по формуле (XI. 11) удобно производить, задаваясь разными значениями А и определяя каждый раз

Отсюда и получится искомая зависимость при заданном

Рис. XI.3. Определение порогового значения амплитуды

Обратимся теперь на этой базе к расчету ошибок слежения за синусоидальным внешним воздействием. Выражение для ошибки слежения для систем, содержащих в прямой цепи усиления одну нелинейность, в общем случае имеет вид

где — изображение ошибки слежения;

— изображение угла поворота задающей (командной) оси следящей системы. Учитывая, что частота внешнего синусоидального воздействия (а в обычно невелика и при этом соблюдается неравенство , приближенное выражение для амплитуды ошибки етах можно записать в виде

Для широкого класса систем, обладающих астатизмом первого порядка, передаточная функция линейной части в области низких частот может быть аппроксимирована выражением

и для систем с астатизмом второго порядка

где — общие коэффициенты усиления, соответственно по скорости и ускорению.

Подставляя выражение (XI. 15) в (XI. 14), получим

или после преобразований

где — максимальная скорость входного воздействия,

— максимальное ускорение входного воздействия. Текущее значение ошибки слежения будет иметь вид

где введены обозначения для, максимальной величины скоростной ошибки с учетом нелинейности

и для максимальной величины ошибки от ускорения с учетом нелинейности

Полная величина максимального значения ошибки определяется как

Обычно параметры системы выбирают так, чтобы

В этом случае выражение ошибки приобретает вид

Определение численного значения ошибки етах удобнее всего производить путем графического решения уравнения (XI.21). Это вызвано тем, что в уравнение (XI.21) входят значения которые сами зависят от величины амплитуды на входе нелинейности, т. е. от искомой величины ошибки.

На рис. XI.4 нанесен график зависимости в функции от амплитуды сигнала на входе нелинейного элемента А. На этом же графике в тех же координатных осях строится гипербола,

соответствующая уравнению (XI.21), которое для амплитуды А переписывается в виде

где — коэффициент усиления амцлитуды от входа системы до входа нелинейного элемента являются заданными величинами, их численные значения известны.

Точка пересечения двух кривых (см. рис. XI.4) соответствует решению уравнения (XI.22). Численное значение амплитуды А снимается по оси абсцисс.

Амплитудное значение ошибки слежения замкнутой системы окончательно определяется формулой

При постановке задачи синтеза рассуждения ведутся иным образом. Заданными величинами являются амплитуда и период вынужденных колебаний а также величина допустимой ошибки слежения

Рис. XI.4. Определение ошибки при петлевой нелинейности

При расчете систем, например, методом логарифмических частотных характеристик, первый излом логарифмической амплитудной характеристики выбирают равным поэтому общее выражение для амплитуды ошибки сохраняется прежним (XI.22).

Решение уравнения (XI.21) или, точнее, уравнения (XI.22) ведется также графически (рис. XI.4), причем определению подлежит коэффициент Запишем соотношение (XI.22):

где

По оси абсцисс откладывается заданное значение и восстанавливается перпендикуляр до пересечения с характеристикой а Через полученную точку нужно провести гиперболу,

соответствующую уравнению (XI.24), и определить постоянный коэффициент уравнения гиперболы х (значение этого коэффициента можно определить и не строя гиперболы).

Из соотношения (XI.24) необходимое значение общего коэффициента усиления по скорости равно

Это относится к системам с астатизмом первого порядка.

Для систем, обладающих астатизмом второго порядка, амплитуда ошибки слежения будет

Графическое определение ошибки слежения ведется в этом случае аналогичным образом. Совместно рассматриваются кривая, отображающая связь и гипербола, соответствующая уравнению

Пример 1. Рассмотрим следящую систему, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

Допустим, что численные значения постоянных выбраны на базе линейной теории [1] таким образом, чтобы система при слежении за синусоидальным входным воздействием с амплитудой периодом сек имела ошибку, не превышающую етах

В этом случае

Предположим, что в режиме слежения насыщение начинает проявляться в одном из последних каскадов усилителя (рис. XI.5, а). Коэффициент усиления от входа до этого каскада (т. е. до входа нелинейного элемента) будет

Согласно соотношению (XI.22), имеем

где

С учетом численных значений коэффициентов получим .

На рис. XI.5, б построена известная зависимость Полагая, что насыщение начинается при значениях , перепишем последнее выражение в виде

Построим гиперболу, соответствующую этому уравнению.

Рис. XI.5. Схема следящей системы (а); определение ошибок в следящей системе (б)

Точка пересечения (рис. XI.5, б) дает нам в масштабе оси абсцисс относительное значение амплитуды ошибки на входе нелинейности (выходного каскада усилителя)

Максимальная ошибка слежения на входе системы будет иметь значение

т. е. влияние насыщения увеличивает ошибку слежения в 1,5 раза.

Пример 2. Рассмотрим ту же следящую систему. Определим необходимое значение общего коэффициента усиления системы по скорости для обеспечения заданной ошибки слежения град при учете влияния насыщения. Расчет в этом случае ведется в иной последовательности.

Определяем сначала допустимую амплитуду ошибки на входе нелинейности

Считая, что насыщение по-прежнему начинается при , получим

Этому значению как видно из рис. ХI.5, б, удовлетворяет величина а, равная 0,9.

Следовательно,

Требуемое значение общего коэффициента усиления системы по скорости оказывается равным

т. е. для устранения влияния насыщения на точность работы системы коэффициент усиления необходимо увеличить примерно на 20%.