2. УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Если в системе регулирования имеется один нелинейный элемент, то ее всегда можно представить в виде последовательного соединения линейного и нелинейного элементов (рис. IX.7), причем под линейным элементом подразумевается вся линейная часть системы регулирования. Допустим, что система находится на границе устойчивости и в ней возникли незатухающие колебания некоторой частоты и амплитуды А на входе нелинейного

элемента. Тогда уравнения первого приближения, согласно уравнениям (IX.3) и (IX. 11), будут иметь вид

Отсюда уравнение свободных колебаний будет

Левая часть уравнения (IX. 15) является комплексной величиной. Приравнивая отдельно ее вещественную и мнимую части нулю, получим два уравнения с двумя неизвестными: частотой и амплитудой колебаний. Если в результате решения этих уравнений получаются действительные значения , колебания в системе возможны.

Рис. IX.7. Структурная схема системы автоматического регулирования, состоящая из линейного и нелинейного элементов

Решение того же уравнения может, быть получено графически. Перепишем уравнение (IX. 15) в следующем виде:

Годограф левой части этого уравнения при изменении частоты в пределах от до представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы регулирования в разомкнутом состоянии, увеличенную в раз. Аналогичная кривая используется при решении вопроса об устойчивости системы в замкнутом состоянии по критерию Михайлова — Найквиста. Годограф правой части этого уравнения при изменении амплитуды в пределах от 0 до представляет амплитудную характеристику нелинейного элемента системы регулирования. Эта амплитудная характеристика может быть изображена, как было показано, в виде кривой в тех же координатах, что и амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.

Пересечение амплитудно-фазовой частотной характеристики с обратной эквивалентной амплитудно-фазовой характеристикой нелинейного элемента определяет частоту и амплитуду возможных колебаний. Если характеристики не пересекаются, это означает, что нет действительного значения удовлетворяющего уравнению (IX. 15), и, следовательно, в рассматриваемой системе регулирования согласно первому приближению не могут существовать колебания конечной амплитуды. Если характеристики касаются

друг друга, то система находится на границе устойчивости. Изменяя амплитудно-фазовую частотную характеристику, можно избежать возникновения колебаний и сделать систему устойчивой.

Таким образом, излагаемый метод исследования нелинейных систем регулирования позволяет определить, как следует изменить амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы регулирования, чтобы обеспечить ее устойчивость.

В некоторых случаях может оказаться более удобным, переписав уравнение (IX. 15) в виде

строить для графического решения обратную амплитудно-фазовую частотную характеристику и эквивалентную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента.