9. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

Нестационарной спектральной плотностью случайного в общем случае нестационарного сигнала назовем двумерную нестационарную спектральную характеристику его корреляционной функции определенную на нестационарном прямоугольнике относительно ортонормированной системы с весовой функцией, равной единице:

Обратный переход от нестационарной спектральной плотности к корреляционной функции осуществляется в соответствии с выражением (IV.33) по формуле

Ординаты нестационарной спектральной плотности реальных сигналов стремятся к нулю при неограниченном росте дискретных аргументов. Поэтому при описании реальных сигналов можно ограничиться квадратной матрицей спектральной плотности конечного порядка.

Основные свойства нестационарной спектральной плотности.

1. Ординаты нестационарной спектральной плотности случай» ного сигнала, определенной относительно ортонормированной системы функций — есть смешанные вторые моменты ординат спектральных характеристик этого сигнала, найденных относительно ортонормированных систем

Действительно, спектральные характеристики сигнала относительно ортонормированных систем определенных соответственно на отрезках описываются выражениями

Ординаты спектральных характеристик являются, очевидно, случайными функциями времени. Перемножив правые и левые части выражений (IV. 113), (IV. 114), получим

Далее, усредняя правую и левую части выражения (IV. 115) по множеству реализаций и учитывая, что будем иметь

где — функция переменных ординаты которой есть вторые смешанные моменты ординат спектральных характеристик .

Сравнивая выражения (IV. 116) и (IV. 111), заметим, что

откуда следует сформулированное выше утверждение. Матричная форма записи выражения (IV. 117) имеет вид

где представлены квадратными матрицами, левые

столбцы которых образованы ординатами этих спектральных характеристик, а элементы остальных столбцов равны нулю.

2. Матрица спектральной плотности определенной относительно системы функций на нестационарном прямоугольнике является транспонированной матрицей спектральной плотности определенной относительно системы функций на нестационарном прямоугольнике

Доказательство этого свойства вытекает непосредственно из формулы (IV. 117), так как

и является следствием симметрии корреляционной функции

3. Может случиться, что

т. е. матрица нестационарной спектральной плотности может быть симметричной. Тогда

4. Если нестационарная спектральная плотность определена на нестационарном квадрате, т. е. то ее матрица всегда симметричная, т. е.

следовательно,

Доказательство этого свойства следует из формулы (IV. 120), где нужно положить

5. Диагональные элементы матрицы нестационарной спектральной плотности, определенной на нестационарном квадрате, всегда не отрицательны, т. е.

Доказательство вытекает из формулы (IV. 117), так как

Нестационарная спектральная плотность белого шума находится по общей формуле (IV. 111). Например, нестационарная

спектральная плотность стационарного белого шума с корреляционной функцией

где уровень спектральной плотности определенный на нестационарном квадрате, описывается формулой

Среднее значение квадрата случайного сигнала на нестационарном отрезке является сечением ряда Фурье (IV. 112) при

Интегральная оценка среднего квадрата случайного сигнала на нестационарном отрезке определяется формулой

Последняя формула получена с помощью выражения (IV. 127). Заметим, что является следом матрицы

Нестационарной взаимной спектральной плотностью случайных сигналов назовем двумерную нестационарную спектральную характеристику взаимной корреляционной функции этих сигналов определенную на нестационарном прямоугольнике относительно ортонормированной системы с весовой функцией, равной единице:

Можно показать, подобно тому, как это было сделано что ординаты нестационарной взаимной спектральной плотности есть смешанные вторые моменты ординат спектральных характеристик сигналов определенных относительно ортонормированных систем

Обратный переход от нестационарной взаимной спектральной плотности к взаимной корреляционной функции осуществляется по формуле