2. ФОРМИРУЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

В предыдущем параграфе было показано, каким образом можно вычислить корреляционную функцию и дисперсию сигнала на выходе системы с переменными параметрами, если на ее вход подан случайный сигнал в виде «белого» шума. Обобщим эти результаты на достаточно широкий класс стационарных, а иногда и нестационарных случайных воздействий, показав, как изменением первоначальной системы можно свести этот более общий случай к частному, когда воздействием является белый шум. Для этого рассмотрим вначале вопрос о получении или формировании случайного процесса, заданного своей корреляционной функцией, из белого шума. Схемы или фильтры, выполняющие эту задачу, называются формирующими фильтрами.

Вначале предположим, что воздействие является стационарной случайной функцией, имеющей спектральную плотность в виде дробно-рациональной функции от

Раньше было показано (см. кн. 2, гл. I, § 10), что спектральная плотность может быть представлена в виде произведения двух сомножителей

причем:

1) сомножитель содержит нули и полюсы функции расположенные в верхней полуплоскости, и является ограниченной и аналитической функцией в нижней полуплоскости;

2) сомножитель содержит нули и полюсы функции расположенные в нижней полуплоскости, и является ограниченной и аналитической функцией в верхней полуплоскости;

3) для действительных значений

и, следовательно,

Таким образом, функция обладает всеми свойствами, которыми должна обладать передаточная функция устойчивой линейной стационарной минимально-фазовой системы (см. кн. 1, гл. VIII, § 7).

Рассмотрим теперь белый шум, имеющий корреляционную функцию и спектральную плотность определяемые формулами

Если этот белый шум пропустить через фильтр, имеющий передаточную функцию то спектральная плотность выходного сигнала, очевидно, будет равна

Сравнивая выражения (11.18) и (11.20), видно, что случайный процесс, имеющий заданную спектральную плотность может быть получен из белого шума, если последний пропустить через формирующий фильтр, передаточная функция которого определяется формулой

Таким образом, из указанных выше свойств сомножителя очевидно, что передаточная функция формирующего фильтра удовлетворяет условию физической реализуемости и является минимально фазовой.

Перейдем теперь к более общему случаю нахождения формирующего фильтра, позволяющего получить заданный нестационарный случайный процесс из белого шума. Мы дадим решение этого вопроса для случая, когда заданный процесс принадлежит к рассматриваемому классу, т. е. когда известно, что он может быть получен из белого шума как решение линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами [2].

Таким образом, рассматривается следующая задача: задана корреляционная функция нестационарного случайного процесса который может быть получен применением к белому шуму произвольной линейной операции вида

требуется определить операторы .

Покажем один из возможных путей решения этой задачи. Из дифференциальных уравнений (11.13), (11.16) и (1.73) имеем

где — импульсная переходная функция, соответствующая выражению (11.22) при

Решение уравнения (11.23) можно представить в виде [см. гл. 1, формула (1.20)]

где — порядок дифференциального оператора фундаментальная система функций уравнения (11.23).

Как известно из теории дифференциальных уравнений, с помощью фундаментальной системы функций можно определить оператор раскрывая определитель порядка в виде

Определим теперь оператор Исходя из фундаментальной системы функций можно вычислить по формуле (1.11).

Обратимся теперь к уравнению (11.24). В этом уравнении левая часть нами уже определена и, следовательно, известен результат действия на функцию произведения сопряженных операторов Найдя отсюда вид этого произведения и разложив его на сопряженные множители, получим Этим завершается определение дифференциального уравнения формирующего фильтра для нестационарного случайного процесса.

Таким образом, если известно, что случайный нестационарный (или стационарный) процесс, корреляционная функция которого задана, может быть получен при подаче на вход линейной системы белого шума, то дифференциальное уравнение этой системы может быть определено. Необходимо, однако, подчеркнуть, что указанная процедура является практически применимой, если оператор не сложен и, в частности, не содержит операторов дифференцирования. В противном случае задача, состоящая в разложении дифференциального самосопряженного оператора с переменными коэффициентами на сопряженные, является трудной.

Мы предполагаем наличие аналитического выражения для заданной корреляционной функции хотя бы в одной из областей или Однако вполне очевидна возможность аппроксимации экспериментальных кривых выражениями вида (11.25). Кроме того, метод применим и в случае, когда заданная корреляционная функция может быть приблизительно представлена выражением вида (11.25). Но при этом необходимо учитывать возможность получения физически нереализуемых фильтров (более подробно см. § 3)

Проиллюстрируем изложенный метод простейшим примером. Пусть корреляционная функция нестационарного процесса задана в виде

Из выражения (11.25) следует, что соответствующий этой корреляционной функции формирующий фильтр описывается дифференциальным уравнением первого порядка, так как

Далее, раскрывая определитель (11.26) и отбрасывая общий множитель, получим

Из выражения (1.11) следует, что

Из уравнения (11.24) найдем

Отсюда , следовательно,

Таким образом, фильтр формирующий нестационарный случайный процесс с корреляционной функцией (II. 27), описывается линейным дифференциальным уравнением

Он может быть реализован в виде RC-фильтра с сопротивлением, изменяющимся по закону (рис. 11.2).

Рис. II.2. Фильтр с переменным сопротивлением

Метод формирующих фильтров позволяет обобщить метод определения корреляционной функции на выходе, изложенный в предыдущем параграфе, на случай не «белого» случайного процесса на входе.

Действительно, если входной случайный процесс имеет корреляционную функцию которая отлична от дельта-функции и задана, то для определения корреляционной функции процесса на выходе исследуемой системы необходимо:

1) рассчитать формирующий фильтр по заданной корреляционной функции;

2) составить дифференциальное уравнение системы, рассматривая процесс на выходе формирующего фильтра как вход исследуемой системы: формирующий фильтр+исследуемая система (рис. II.3);

3) исследовать эту систему, как имеющую на входе белый шум; при этом необходимо изменить соответственно начальные условия вследствие изменения дифференциального уравнения.

Рис. II.3. Последовательное соединение формирующего фильтра и исследуемой системы

Действительно, если на вход системы, описываемой уравнением (1.2), подается шум с корреляционной функцией и можно получить этот процесс при помощи уравнения

где белый шум, то формально имеем право записать, что

При этом исходное уравнение (1.2) превращается в

или

где

Это уравнение совпадает с уравнением (1.2) и его корреляционная функция может быть исследована аналогично изложенному; при этом, очевидно, необходимо ввести новые начальные условия.