4. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Поясним метод исследования нестационарных систем при помощи дифференциального уравнения для параметрической передаточной функции в комплексной области на примере одного класса систем автоматического регулирования конечного состояния, получившего на практике широкое применение. Структурная схема системы изображена на рис. II 1.4.

Специфическая особенность систем автоматического регулирования конечного состояния заключается в том, что время регулирования ограничено некоторой величиной и цель регулирования состоит в достижении к моменту заданного состояния,

характеризуемого в общем случае координатами изображающей точки в фазовом пространстве. В частном случае под состоянием системы понимается только величина регулируемой переменной. Теории таких систем посвящены работы [1], [13].

Ниже излагается частотный метод анализа и синтеза систем конечного состояния, основанный на решении дифференциального уравнения, определяющего параметрическую передаточную функцию переменной системы, в комплексной области. Такого рода дифференциальное уравнение для общего случая полиномиальных коэффициентов имеет вид (II 1.45).

К системам автоматического регулирования конечным состоянием можно отнести:

систему автоматической посадки самолета, систему управления самонаводящейся ракетой [11], систему автоматического регулирования скорости намотки металлической полосы (или проволоки) на барабан и т. д.

Рассмотрим систему автоматической посадки самолета (рис. . В данном случае цель регулирования заключается в обеспечении нулевой ошибки к моменту вывода самолета на радиомаяк [1].

Рис. III.4. Типовая структурная схема системы регулирования конечного состояния

Рис. III.5. Структурная схема системы автоматической посадки самолета

При надлежащей линеаризации уравнений движения самолета система автоматической посадки описывается дифференциальными уравнениями вида

где отклонение курса самолета от посадочного;

- отклонение вектора скорости самолета;

— угол крена;

— боковое отклонение самолета; — угол пеленга;

— операторы дифференциального уравнения контура стабилизации самолета;

— параметры контура управления самолета;

V — скорость самолета;

- возмущающие воздействия.

Системе уравнений (III.48) соответствует структурная схема, изображенная на рис. III.5, б, аналогичная схеме, приведенной на рис. II 1.4. К такой же структурной схеме приводится система автоматического управления самонаводящейся ракетой (см. [3]).

Рис. III.6. Принципиальная схема системы регулирования скорости намотки металлической полосы на барабан

Рассмотрим, теперь систему автоматического регулирования скорости намотки металлической полосы на барабан (рис. III.6). Она состоит из электронного и электромашинного усилителей и электродвигателя, который через редуктор вращает барабан с металлической полосой. Скорость вращения измеряется тахогенератором. Уравнения системы имеют вид

где — момент инерции барабана с металлической полосой, изменяющийся по мере смотки полосы;

— угловая скорость вала электродвигателя; — крутящий момент электродвигателя; ток якоря;

— параметры электродвигателя, усилителей и тахогенератора;

— входное напряжение, определяющее скорость вращения;

— полиномы передаточной функции корректирующего устройства.

Системе уравнений (111.49) также соответствует структурная схема, изображенная на рис. II 1.4.

Исследование рассмотренных выше систем автоматического регулирования конечного состояния имеет ряд специфических особенностей. Для систем данного класса особое значение имеют динамические и случайные ошибки в конце управления. Поэтому при исследовании наибольшую роль играют параметрические передаточные функции, соответствующие конечному моменту времени.

Для систем рассматриваемого класса при определении параметрической передаточной функции удобно использовать дифференциальное уравнение не во временной, а в комплексной области, так как последнее является уравнением первого порядка вне зависимости от порядка дифференциального уравнения стационарной части системы.

Рассмотрим структурную схему, приведенную на рис. II 1.4. Пусть

где — некоторые полиномы от причем полиномы имеют порядок, по крайней мере, на единицу больше, чем порядок

Структурной схеме, показанной на рис. II 1.4, соответствует следующее дифференциальное уравнение:

где

или в стандартной форме

где

Тогда, используя уравнения (III.50), (III.45) и (III.47), получим следующее уравнение для передаточной функции:

Подставляя выражения для и найдем

Уравнение (III.53) является основным при анализе систем рассматриваемого класса. Из него можно получить передаточную функцию системы для любого момента времени

Аналитическое решение уравнения (II 1.53) в общем виде затруднительно. Более целесообразным представляется определение частотных характеристик для частного вида уравнения (II 1.53), а затем их нахождение для уравнения общего вида.

Рассмотрим вначале решение для частного случая, когда и уравнение (II 1.53) сводится к виду

или

или

Возможны два способа решения уравнения (II 1.54). Один из них предполагает известным разложение передаточной функции стационарной части на элементарные дроби, второй не имеет этого ограничения и оперирует только с частотной характеристикой