ГЛАВА I. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

В настоящей главе излагаются следующие методы анализа и синтеза систем с переменными параметрами при детерминированных (типовых) воздействиях:

а) операторный метод, или метод дифференциальных уравнений, основанный на правилах операторной алгебры и связанный с понятием импульсной переходной функции;

б) метод импульсных переходных функций, приводящий к интегральным уравнениям, для решения которых используются методы структурных преобразований и понятие обратных систем;

в) метод сопряженных систем, особенно удобный для анализа нестационарных систем при помощи аналоговых математических машин;

г) частотный метод, основанный на понятии параметрической передаточной функции и параметрических частотных характеристик, частным случаем которого является метод „замороженной" передаточной функции.

В конце главы даются краткие замечания об устойчивости систем с переменными параметрами.

1. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рассмотрим линейную систему с сосредоточенными переменными параметрами (или нестационарную систему), описываемую дифференциальным уравнением в полных производных вида:

или

где функции и необходимое число их производных предполагаются непрерывными, причем

Сокращенно уравнение (1.1) условимся записывать в виде

где

и

Импульсной переходной, или весовой, функцией нестационарной системы называется (см. кн. 1, гл. VII) общее решение уравнения

при нулевых начальных условиях в момент Функция удовлетворяет условию физической осуществимости:

и характеризует реакцию системы на воздействие в виде функции.

Зная можно найти (см. кн. 1, гл. VII, § 17) изменение величины на выходе вызываемое в нестационарной системе воздействием при помощи формулы

называемой интегралом свертки.

Первый аргумент представляет собой реальное время наблюдения, а второй аргумент характеризует момент, в который на вход системы приложено воздействие в виде -функции.

Предполагается, что коэффициенты дифференциального уравнения (1.1) меняются во времени начиная с какого-либо фиксированного момента которое можно принять за начало отсчета в момент включения системы; в частности, можно принять, что При этом, очевидно, вид импульсной переходной функции системы по первой переменной зависит от момента подачи единичного импульса на ее вход, так как параметры системы изменяются с течением времени. Если по одной оси отсчитывать время с момента начала наблюдения, а по другой — моменты подачи единичных импульсов на вход, то импульсную переходную функцию системы с переменными параметрами можно представить графически в виде поверхности, отличной от нуля, в области (рис. 1.1).

Сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, параллельной оси определяет переходный процесс в системе, вызванный воздействием в виде дельта-функции, приложенным в фиксированный момент времени

Понятие импульсной переходной функции тесно связано с понятием функции Грина, применяемым в классической теории линейных дифференциальных уравнений [12], [19].

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1.1).

Рис. 1.1. Импульсная переходная функция

Если воздействие задано, то правая часть уравнения (1.1) является известной функцией времени, которую можно обозначить через и и задача сводится к решению уравнения

или

при некоторых граничных условиях.

Если предположить, что в начальный момент система, описываемая уравнением (1.8), находилась в покое, то эти граничные условия сводятся к нулевым начальным условиям при

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения (1.8) имеет вид

где

В выражении (1.11) через обозначены линейно независимые решения однородного дифференциального уравнения

через производная решения, а через так называемый определитель Вронского [19], или Вронскиан:

Функция входящая в выражение (1.10), называется односторонней функцией Грина линейного дифференциального оператора

Функция Грина так же, как и импульсная переходная функция позволяет определить реакцию нестационарной системы при любом воздействии Действительно, имея в виду, что

вместо (1.10) можно написать

Для того чтобы установить связь между этими двумя функциями, предположим вначале, что . В этом случае уравнение (1.5) и выражение (1.15) соответственно принимают вид

причем

Сравнивая выражения (1.7) и (1.17) и учитывая что, согласно условию физической осуществимости

легко видеть, что при

так как функция Грина , определяемая выражением (1.11), не обязательно равна нулю при

Итак, функция Грина представляет собой при решение

неоднородного уравнения (1.16) при начальных условиях (1.16а) или однородного уравнения (1.12), т. е.

при начальных условиях

Функция являющаяся решением однородного уравнения (1.12), выражается через фундаментальную систему функций следующим образом:

Функции входящие в формулу (1.20), могут быть определены в результате подстановки выражения (1.20) в начальные условия (1.19).

Найдем теперь выражение для импульсной переходной функции удовлетворяющей неоднородному уравнению (1.1).

Подставляя выражение (1.20) в формулу (1.10) для учитывая, что

и интегрируя по частям, получим

Сравнивая выражения (1.7) и (1.22) получим следующую формулу для импульсной переходной функции, соответствующей уравнению (1.1):

где

Полученное выражение (1.23) показывает, что в общем случае для определения импульсной переходной функции вначале необходимо найти функцию Грина (или функцию удовлетворяющую уравнению (1.16), а затем определять по формуле (1.23).

Функция может быть найдена также в результате решения однородного дифференциального уравнения

Это следует из того, что неоднородное дифференциальное уравнение (1.5), содержащее в правой части дельта-функцию и ее производные [10], [20], [21], эквивалентно однородному дифференциальному уравнению (1.25) при начальных условиях

где — наивысший порядок производной в правой части уравнения (1.5) и