1. ОБЩЕЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ (МЕТОД СВЕРТКИ)

Предположим, что переменные коэффициенты входящие в дифференциальное уравнение системы с переменными параметрами

могут быть представлены в виде

где — заданные постоянные коэффициенты, причем некоторые из них могут равняться нулю; заданные функции времени, для которых существует преобразование Лапласа.

Преобразуем уравнение (III. 1) в комплексную область при помощи непосредственного применения к нему преобразования Лапласа и использования теоремы о свертке функций в комплексной области [6].

Теорема свертки может быть сформулирована следующим образом (см., например, работу [2]).

Если функции имеют преобразования Лапласа то

причем

и

где — абсциссы абсолютной сходимости функций Вводя обозначения

в результате указанного преобразования уравнения (II 1.1) получим

или

где для краткости обозначено

Итак, в результате применения преобразования Лапласа дифференциальное уравнение с переменными параметрами (III. 1) относительно переменной сводится к интегральному уравнению (II 1.4) относительно преобразования Лапласа для этой переменной.

Заметим, что первый член в правой части выражения (III.4) представляет собой преобразование Лапласа для решения уравнения (III. 1) без учета переменных параметров, т. е. при

Вторым членом в правой части выражения (III.4) является преобразование Лапласа для решения уравнения (III. 1) без учета переменных параметров в левой части и постоянных параметров в правой части уравнения (III. 1), но с учетов переменных параметров в правой части этого уравнения.

Наконец, последний член в правой части выражения (III.4) характеризует влияние переменных параметров в левой части дифференциального уравнения (III.1). Очевидно, что такая структура выражения для имеет определенные удобства с точки зрения возможности оценки влияния переменных параметров на решение уравнения (III. 1).

Введем обозначение

и предположим, что функция может быть представлена в виде

где полином от .

Тогда интегральное уравнение (II 1.4) можно переписать в следующем виде:

Решение этого интегрального уравнения будем искать методом последовательных приближений в виде ряда

где определяется формулой (III.7), — рекуррентной формулой вида

Как это показано в работе [10], ряд является решением уравнения (II 1.4), если выражение представляет собой дробно-рациональную функцию от причем порядок знаменателя больше, чем порядок числителя.

Решение в виде ряда (III. 10) показывает, что:

1) системе с переменными параметрами, на вход которой подано фиксированное воздействие соответствует эквивалентная система с постоянными параметрами, структурная схема которой изображена на рис. III.1;

Рис. III. 1. Система с переменными параметрами и эквивалентная ей система с постоянными параметрами

2) переход от решения уравнения (III.4) в виде ряда в комплексной области к решению в вещественной области легко может быть осуществлен, если интегралы вида

(III.11) вычислять обычными приемами теории вычетов, а затем переходить в вещественную область при помощи обратного преобразования Лапласа, т. е. решение уравнения можно представить в следующем виде:

где