5. ОШИБКИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ И СЛУЧАЙНОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

5. ОШИБКИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ И СЛУЧАЙНОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Пусть к автоколебательной нелинейной системе приложено переменное внешнее воздействие Уравнение системы запишем в виде

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие в астатических системах скорость его изменения является медленно меняющимся, т. е. оно мало изменяется за период автоколебаний.

Решение уравнения будем искать в виде

где

В данном случае, как и при постоянном воздействии, в нелинейной системе возникают несимметричные автоколебания с амплитудой А, частотой и смещением однако теперь все эти три величины медленно меняются с течением времени при изменении Поэтому в записи переменная Г отсчитывается внутри каждого периода отдельно.

Величина представляет собой основной (полезный сигнал управления в системе, возникающий при приложении а на него накладываются автоколебательные вибрации х. Таким образом задача состоит в исследовании прохождения медленно меняющихся сигналов управления в автоколебательных системах.

Формула гармонической линеаризации нелинейности с учетом смещения в данном случае будет иметь вид

где определяются формулами

Заменяя нелинейную функцию в уравнении соотношением получим гармонически линеаризованное уравнение системы

Учитывая, что медленно меняющаяся величина, уравнение можно представить в виде системы двух уравнений соответственно для медленно меняющейся и колебательной составляющих [13], [14]:

Коэффициенты уравнения (X.94), согласно уравнению зависят от амплитуды автоколебаний А и от смещения Поэтому, положив в уравнении и выделив вещественную и мнимую части, получим два уравнения с тремя неизвестными

Эти уравнения дают возможность определить амплитуду А и частоту со автоколебаний как функцию медленно меняющейся составляющей

Таким же образом можно определить зависимости амплитуды и частоты автоколебаний не только от но и от параметров системы с целью выбора последних.

После определения из уравнений зависимости можно, воспользовавшись первой из формул найти функцию смещения которая является обычно плавной характеристикой данного нелинейного звена по отношению к медленно меняющимся составляющим переменных (эффект вибрационного сглаживания нелинейности с помощью автоколебаний). Если ранее в системе рассчитывались статические ошибки (§ 4) и там была уже определена функция смещения, то можно использовать ее и здесь в готовом виде.

Подставляем найденное выражение для функции смещения в уравнение

Решение этого дифференциального уравнения определяет ход процесса регулирования в системе в условиях автоколебательных вибраций при любом заданном внешнем воздействии медленно меняющемся по сравнению с частотой автоколебаний.

Во многих случаях решение уравнения можно упростить, подвергнув функцию смещения обычной линеаризации, т. е. записав ее в виде

где

Тогда уравнение становится линейным:

При этом можно обойтись без фактического определения функции смещения, а именно: можно доказать [13], что для нечетно симметричных нелинейностей как однозначных, так и петлевых будет

Поэтому коэффициент усиления медленно меняющейся составляющей в нелинейном элементе при наличии автоколебаний будет определяться формулой

непосредственно по исходному выражению без определения функции смещения; при этом требуется найти для данной системы только значение амплитуды симметричных автоколебаний А при что делается достаточно просто. Поскольку величина А зависит от структуры и параметров системы, то и величина также может существенно от них зависеть. Для практических расчетов в приложении V приведена табл. 1 формул коэффициентов различных нелинейностей.

Итак, на основании уравнения по обычным правилам линейной теории автоматического регулирования можно определить любые виды динамических и установившихся ошибок данной автоматической системы для различных процессов регулирования и слежения, медленно протекающих во времени по сравнению с частотой автоколебаний, в том числе случайных процессов. Необходимо лишь учитывать возможное изменение величины от других параметров системы и ее структуры. В этом и заключается особенность исследования нелинейной системы, несмотря на применение методов линейной теории.

Пример 5. Рассмотрим работу магнитно электрического акселерометра при случайных воздействиях [5]. Прибор представляет собой замкнутую автоматическую систему, работающую в вибрационном автоколебательном режиме. Схема последней приведена на рис. Х.21.

Рис. Х.21. Схема магнито-электрического акселерометра

Предположим, что измеряемое этим прибором ускорение является случайной функцией времени, например, это может быть боковое ускорение самолета, возникающее вследствие турбулентности атмосферы.

Динамика системы прибора описывается уравнением

где — постоянная демпфирования чувствительной катушки;

— инерционная постоянная чувствительной катушки; — электрическая ее постоянная;

— постоянная, связанная с противо-э. д. с.;

- передаточные числа;

— нелинейная характеристика типа идеального реле:

В уравнении через обозначено замеряемое боковое ускорение самолета. Будем считать его стационарной случайной функцией с заданной спектральной плотностью

где

Найдем решение уравнения в виде Для определения автоколебаний при наличии случайного воздействия в данной системе воспользуемся уравнением Соответствующее ему характеристическое уравнение, согласно зависимости будет

Для нелинейности имеем

Подставив в характеристическое уравнение и выделив вещественную и мнимую части, получим

откуда находим частоту

а также, учитывая формулы значение амплитуды, зависящее от медленно меняющейся составляющей

где — амплитуда симметричных автоколебаний при которая равна

Для определения случайной медленно меняющейся составляющей можно использовать уравнение которое для данной системы, согласно уравнению принимает вид

откуда, согласно формулам имеем

Дисперсия медленно меняющейся случайной составляющей процесса определяется формулой

где

Проделав ряд необходимых выкладок (как для линейных систем) и воспользовавшись готовым выражением интеграла, получим искомую дисперсию в зависимости от крутизны функции смещения в виде