2. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ

Если при отыскании периодических решений оказывается, что для одних сочетаний параметров системы периодическое решение существует, а для других нет, то можно всегда в пространстве параметров (или на плоскости параметров) найти границы области существования периодического решения. Границу области существования периодического решения в пространстве параметров можно считать границей области устойчивости либо границей области неустойчивости для систем, обладающих единственным равновесным состоянием или единственной сплошной зоной состояний равновесия (например, внутри зоны нечувствительности) [13].

Отсутствие периодического решения при исследовании систем методом гармонической линеаризации, как известно, определяется

тем, что характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы ни при каких возможных для данной нелинейности значениях не имеет чисто мнимых корней. Гармонически линеаризованное уравнение остается справедливым также и для переходных процессов вблизи периодического решения. Поэтому можно считать, что, если уравнение в области отсутствия периодического решения, но вблизи него, удовлетворяет критерию Гурвица (или любому другому линейному критерию устойчивости: Михайлова, Найквиста) при любых возможных для данной нелинейности значениях a и b, то, по крайней мере, вблизи найденной границы область отсутствия периодического решения будет областью устойчивости равновесного состояния системы. Если же при любых возможных для данной нелинейности значениях гармонически линеаризованное уравнение не удовлетворяет критерию устойчивости Гурвица, Михайлова или Найквиста, то мы имеем область неустойчивости системы, Таким образом оцределяется колебательная граница устойчивости системы.

Для нахождения областей устойчивости можно воспользоваться любым из рассмотренных способов отыскания периодического решения. Например, при использовании аналитического первого способа граница устойчивости определяется как граница существования вещественных положительных значений А и в полученном решении.

Особо рассмотрим исследование устойчивости для распространенного случая нелинейной системы с одной однозначной нечетно симметричной нелинейностью любой конфигурации [8].

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы в этом случае имеет вид

Условием существования периодического решения, согласно второму способу (см. § 1), будет равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица

причем величина определителя является функцией коэффициента гармонической линеаризации а и параметров системы.

Пусть при изменении какого-либо параметра к величина определителя может равняться нулю при каких-нибудь возможных для данной нелинейности значениях а в некотором интервале (рис. Х.8, а). Слева от точки имеем а справа от точки имеем при всех возможных в данной задаче значениях а. Тогда слева от точки лежит область устойчивости системы, а справа от точки — область

неустойчивости. Граничные значения могут быть определены как такие значения параметра при которых обращается в нуль соответственно наименьшее и наибольшее значения определителя при изменении а в заданном для каждой заданной нелинейности интервале.

Например, если при каком-нибудь значении будет равно нулю наименьшее (при изменении а) значение (кривая 2 на рис. Х.8, б), а при возможно равенство при каких-нибудь значениях а (кривая 3), то при обязательно будет при всех значениях а (кривая 1).

Рис. Х.8. К выделению областей устойчивости

Практически, как увидим ниже, построение этих кривых производить не требуется.

Точно так же и на плоскости любых двух параметров системы (например, k и Т) случай, когда наименьшее (при изменении а) значение — определит линию, изображающую границу области устойчивости системы (рис. , а наибольшее значение — границу области неустойчивости.

Эти экстремальные значения определителя могут быть определены путем приравнивания нулю производной

или же путем непосредственного установления таких значений а, при которых имеют место наименьшее и наибольшее значения определителя и даже при отсутствии математического экстремума.

Исключая из выражений (Х.28) и (Х.29) величину а, получим границу устойчивости либо неустойчивости системы, выраженную через параметры системы.

Однако полученная при этом величина а, соответствующая математическому экстремуму определителя может выйти за рамки интервала возможных для данной нелинейности значений а, как, например, величина на рис. Х.8, б уходит вправо за этот интервал. Тогда берется ближайшее крайнее возможное значение а и непосредственно подставляется в выражение что графически соответствует, например, кривой 4 на рис. Х.8, б. Кроме того, должны быть исключены из рассмотрения те участки получаемой границы устойчивости, где не соблюдается условие, указанное в сноске. Поэтому исследование устойчивости нелинейной системы разбивается на два этапа [8]:

первый этап — исключение а из уравнений дает условия устойчивости, достаточные при любой форме однозначной нечетно симметричной нелинейности, так как в них величина а неограничена , т. е. не зависит от формы нелинейности;

второй этап — отбрасывание лишних участков границы устойчивости, полученных на первом этапе, и замена их другими, вытекающими из ограничения интервала возможных значений а для данной нелинейности, подводит к необходимым условиям устойчивости, так как при этом мы вплотную приближаемся к границе области существования периодического решения (естественно, что эти необходимые условия являются приближенными в соответствии с нестрогостью метода определения периодического решения).

Аналогичным путем можно оценить области устойчивости для петлевой и других более сложных видов нелинейностей.

Однако в сложных случаях удобнее применять метод с использованием критерия Михайлова. При этом область устойчивости определяется как такая область параметров системы, для которой критерий Михайлова, примененный к гармонически линеаризованному уравнению системы, выполняется при любых значениях a и b, возможных для данной нелинейности, т. е. в этой области параметров системы ни при каких возможных значениях кривая Михайлова не должна проходить через начало координат, всегда охватывая его.

Таким образом, при использовании третьего способа (§ 1, рис. Х.3) определения периодического решения граница устойчивости может быть найдена графически по точкам путем подбора сбответствующих граничных значений параметров, начиная с которых удовлетворяются указанные выше условия.

Применение частотных методов к выделению областей устойчивости нелинейных систем не дает каких-либо преимуществ, а наоборот, связано с многократными графическими построениями

амплитудно-фазовых характеристик линейной части при соответствующем подборе параметров. Существенное облегчение может быть достигнуто, если производить построение характеристик в прямоугольных координатах, используя шестой способ определения периодического решения (§ 1), либо если пользоваться построением логарифмических амплитудных характеристик линейной части системы.

Оценка запаса устойчивости по показателю затухания. По аналогии с линейными системами показателем затухания можно назвать величину вещественной части, которая появляется у пары мнимых корней при отклонении системы от периодического решения.

Величина может быть определена путем подстановки в характеристическое уравнение Результат этой подстановки, используя разложение в ряд, можно записать в виде

где штрихом обозначена первая производная от левой части характеристического уравнения по X с последующей подстановкой , где — значение частоты колебаний, которая может претерпевать малые отклонения от ее значения в периодическом решении. Амплитуда А, входящая в коэффициенты уравнения, считается здесь независимой переменной, тоже мало отклоняющейся от ее значения в периодическом решении.

Выделив в уравнении вещественную и мнимую части, получим

где фигурируют вещественные и мнимые части следующих выражений:

Из двух уравнений определяются две неизвестные как функции амплитуды для переходных процессов вблизи периодического решения. При этом главный интерес представляет величина показателя затухания

Последние две функции показывают, что амплитуда Л входит в выражения и не непосредственно, а через коэффициенты a и b, зависящие от А. Как видим, величина показателя затухания I в нелинейной системе в отличие от линейной зависит не только от параметров системы, но также и от величины амплитуды колебаний А.

Выражая через параметры системы, можно выбрать сами параметры таким образом, чтобы обеспечить заданную величину показателя затухания при требуемых амплитудах колебаний,

Оценка запаса устойчивости по показателю колебательности [9]. При исследовании нелинейных систем методом гармонической линеаризации, как и в методах синтеза линейных систем, можно применить оценку колебательных свойств системы по величине резонансного пика частотной характеристики замкнутой системы М, называемого показателем колебательности.

В приложении к нелинейным системам величина М служит мерой отдаленности частотной характеристики линейной части от амплитудной характеристики нелинейного элемента. Чем дальше располагаются эти характеристики друг от друга, тем менее колебательным будет процесс в системе.

Для нелинейных систем, в частности релейных, удовлетворительные результаты получаются, если наибольшее значение М меньше 2 и для больших амплитуд входного сигнала М не превышает 1,8. Указанные значения допустимой величины показателя колебательности являются ориентировочными и в дальнейшем по мере накопления опыта должны корректироваться.

Структурная схема типовой нелинейной следящей системы приведена на рис. а.

Передаточная функция замкнутой системы может быть записана в виде

где используются амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы

амлитудная характеристика (эквивалентный комплексный коэффициент усиления) нелинейного элемента

обратная амплитудная характеристика нелинейного элемента

Сравнение выражения с передаточной функцией замкнутой линейной системы

позволяет считать линеиные системы, для которых частным случаем более общего класса нелинейных систем

Показатель колебательности нелинейной системы может быть определен согласно выражению

Как видим, в отличие от линейных систем величина показателя колебательности существенно зависит от амплитуды А сигнала на входе нелинейного элемента.

Рис. Х.9. Схема типовой нелинейности следящей системы и построение окружности постоянной колебательности М. а — структурная схема; б — кривые

Линией постоянного значения показателя колебательности на плоскости для каждого заданного значения амплитуды А будет окружность с координатами центра

и радиусом

В случае, когда нелинейность представляет собой однозначную нечетную функцию, формулы упрощаются, так как

Легко показать, что кривая постоянного фазового сдвига тоже будет окружностью, центр которой имеет координаты

и радиус

Если на комплексной плоскости нанести окружности, соответствующие различным показателям колебательности, для разных амплитуд входного сигнала нелинейного элемента, то по точкам пересечения амплитудно-фазовой характеристики линейной части с этими окружностями нетрудно построить семейство амплитудных частотных характеристик замкнутой нелинейной системы.

Однако при решении задачи синтеза обычно достаточно определить лишь показатель колебательности для различных амплитуд входного сигнала нелинейного элемента. Чтобы нелинейная система обладала заданным показателем колебательности при данной амплитуде входного сигнала А, амплитудно-фазовая характеристика линейной части должна располагаться вне запретной зоны, образованной окружностью постоянной колебательности (рис. Х.9, б).

Максимальное значение запаса по фазе при данной величине М и при определяется из треугольника (рис. Х.9 б), причем

Таким образом, максимальное значение запаса по фазе для однозначных нелинейностей не зависит от формы нелинейности, а определяется только показателем колебательности.

В общем случае вид «запретной» зоны заданного показателя колебательности зависит от типа нелинейности, т. е. определяется амплитудной характеристикой нелинейного элемента

Для однозначных нелинейностей достаточно начертить окружность постоянной колебательности для наименьшего значения которое определяется видом амплитудной характеристики, и провести касательные к этой окружности. Область, ограниченная частью окружности и касательными, будет являться запретной зоной заданного показателя колебательности для всех возможных амплитуд входного сигнала. Запретные зоны для типовых нелинейностей с однозначными характеристиками приведены в таблице приложения III.

Во втором столбце таблицы показан вид запретной зоны для амплитудно-фазовой характеристики . В третьем столбце таблицы показан вид запретной зоны для обратной амплитудно

фазовой характеристики Все запретные зоны соответствуют постоянному значению показателя колебательности М, равному 1,5.

В ряде случаев система может иметь различные показатели колебательности в зависимости от амплитуды входного сигнала. На рис. Х.10 изображена запретная зона для элемента с насыщением. Показатель колебательности при амплитудах входного сигнала при больших амплитудах показатель колебательности

Аналогичным образом можно нанести запретные зоны для логарифмических амплитудно-фазовых характеристик системы, показанной на рис. Х.11.

Рис. Х.10. Вид запретной зоны для амплитудно-фазовой характеристики линейной части и нелинейности типа насыщения

Рис. Х.11. Запретные зоны для фазовых частотных характеристик линейной части и нелинейности типа насыщения

На рис. Х.11, б построены запретные зоны для двух

типовых логарифмических частотных характеристик при учете насыщения в усилительном тракте. Если характерным режимом работы следящей системы является обработка больших рассогласований, то целесообразно приводить логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) системы к типовой (желаемой), которая приведена на рис. Х.11, б. При этом процесс согласования будет протекать без излишней колебательности. Если л. а. х. системы приводится к виду, изображенному на рис. Х.11, в, то во избежание излишней колебательности процесса согласования нужно ограничить протяженность участка Допустимая величина в зависимости от заданного значения М может быть определена из соотношения

Данные выводы о влиянии насыщения согласуются с известными выводами, полученными предположении, что влияние насыщения сводится к уменьшению коэффициента усиления в той части системы, где проявляется насыщение.