6. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Решение задачи синтеза оптимальной линейной системы приводит к системам с переменными параметрами, если воздействия являются нестационарными случайными процессами, или если выбранный критерий точности таков, что оптимальные условия могут быть достигнуты лишь в классе систем с переменными параметрами [6], [9].
Ниже рассматривается первый случай, когда воздействия представляют собой нестационарные случайные функции. Вначале решение задачи дается в предположении, что воздействия заданы корреляционными функциями (аналог задачи Винера), а затем в предположении, что, кроме того, имеется воздействие, заданное своим аналитическим выражением (нестационарный аналог задачи Заде и Рагацини).
Допустим, что искомая система является линейной, описываемой соотношением (1.7), в котором принято
Как и в случае стационарных систем, мы можем искать оптимальную систему в классе систем с конечной памятью, т. е. предполагать, что
или в классе систем с бесконечной памятью, т. е.
В дальнейшем будем рассматривать соотношения (11.67), поскольку выражение (11.68) следует из уравнения (11.67) при 
Пусть воздействие на систему 
состоит (как и в рассмотренном в кн. 2, гл. VII, § 5 стационарном случае) из суммы управляющего 
и возмущающего 
воздействий, которые, однако, являются теперь нестационарными случайными процессами.
Предположим, что в качестве критерия используется средний квадрат ошибки воспроизведения идеального выходного сигнала 
который связан линейным оператором с сигналом 
т. е.
где 
соответствует в общем случае физически неосуществимому оператору.
Определяя ошибку выражением
получим выражение для среднего значения квадрата ошибки:
где 
— корреляционная функция желаемого сигнала 
— взаимная корреляционная функция сигналов 
— корреляционные функции управляющего и возмущающего воздействий. Предполагается, что сигнал 
не коррелирован с 
Придавая, аналогично стационарному случаю, вариацию импульсной переходной функции 
получим условие экстремума в виде 
При стационарных сигналах 
это уравнение переходит при 
в уравнение Винера-Хопфа [см. кн. 2, гл. VII, формулу (VII.88)].
В практике наиболее часто встречаются два типа нестационарных процессов. Первый тип процессов — результат преобразования белого шума нестационарным линейным оператором; такой процесс 
определяется дифференциальным оператором
где 
— стационарный белый шум, а 
— линейные дифференциальные операторы с переменными параметрами.
Выше (см. § 2) было показано, что корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
где звездочками обозначены сопряженные операторы. Применяя формальные обозначения обратных операторов, можно уравнение (II.73) записать в виде
где 
означает оператор, обратный оператору 
В этом случае на основании выражения (II.74) решение уравнения (11.71) может быть найдено, если известно дифференциальное уравнение типа (11.74), которому удовлетворяет сумма корреляционных функций
Дифференциальное уравнение (11.74) может быть использовано для решения уравнения (11.71). Для этого отметим, что если
то, применяя к обеим частям уравнения (11.75) оператор, обратный оператору (11.74), получим
При этом функция 
не обязательно равна нулю вне интервала 
что требуется в рассмотренной задаче оптимизации.
Как показано в работе [1], решение уравнения (11.71) может быть представлено в виде
где 
и 
— порядки операторов 
Коэффициенты 
определяются подстановкой уравнения (11.76) в исходное уравнение (11.71) аналогично стационарному случаю.
Вторым распространенным типом нестационарных процессов является процесс 
который может быть представлен в виде
где 
— случайные величины с известными статистическими характеристиками; 
— известные функции.
В этом случае корреляционная функция имеет вид
где 
В частности, к данному типу процессов относится процесс, который на конечном интервале 
может быть представлен конечным отрезком ряда Тейлора. Если
то
где
Предположим, что
причем 
удовлетворяющее выражению (11.79), не коррелировано с 
и
Тогда условие (11.71) может быть представлено в виде
где
Обозначая
получим, что уравнение (11.71) в этом случае примет вид
являются нестационарными первого типа, то уравнение (11.86) формально совпадает с уравнением (11.71) и решение определяется выражением (11.76) с заменой 
на 
. Произвольные коэффициенты 
при этом определяются из 
стационарному случаю.
для обеспечения условия 
, достаточно потребовать, чтобы в выражении (II. 85)
становятся неопределенными и после решения уравнения (11.86) могут быть найдены подстановкой 
в уравнение (11.87).
