6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Параллельное соединение. Рассмотрим два параллельно соединенных элемента (рис. IV.4, а) с импульсными переходными функциями Импульсная переходная функция параллельного соединения определяется формулой

На основании равенства (IV.53) и выражения (IV.34) определим

где — нестационарные нормальные передаточные функции соответственно первого, второго элементов и их параллельного соединения.

Рис. IV.4. Соединения элементов с переменными параметрами: а — параллельное; б — последовательное; в — с обратной связью

Аналогично, используя выражения (IV.35), (IV.36), найдем

Последовательное соединение. Рассмотрим два последовательно соединенных элемента (рис. IV.4, б) с импульсными

переходными функциями Формулу для импульс ной переходной функции последовательного соединения запишем в виде

полагая, что

Подставим в выражение (IV.57) разложение нормальной импульсной переходной функции

и разложение сопряженной импульсной переходной функции

Учитывая, что система ортонормирована на отрезке получим

Найдем спектральные характеристики правой и левой частей выражения (IV.60) по переменной относительно системы функций учитывая формулы (IV.34), (IV.46), получим

Определим спектральные характеристики правых и левых частей выражений (IV.60), (IV.61) по переменной относительно системы функций учитывая формулы (IV.35), (IV.44), получим соответственно

Соединение с обратной связью. Рассмотрим схему, приведенную на рис. IV.4, в. Импульсная переходная функция

замкнутой системы является решением интегрального уравнения, которое запишем в виде

Полагая, что

Здесь

Все передаточные функции звеньев и соединения будем определять для простоты относительно однотипных систем функций.

Найдем спектральные характеристики правой и левой частей выражения (IV.64) по переменной 0. Учитывая формулу для последовательного соединения (IV.60), а также связь (IV.46), получим

где определяется по формуле для последовательного соединения

Выражение (IV.66) представляет собой бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно ординат нестационарной нормальной передаточной функции замкнутой системы.

Найдем спектральные характеристики правой и левой частей выражения (IV.64) по переменной при этом будем иметь

Выражение (IV.68) является интегральным уравнением относительно нестационарной сопряженной передаточной функции системы.

Найдем спектральные характеристики правой и левой частей выражения (IV.66) по переменной т. Учитывая связь (IV.44), получим

где - двумерная нестационарная передаточная функция замкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы определяется по формуле (IV.67).

Выражение (IV.69) для каждого является бесконечной системой линейных алгебраических уравнений относительно ординат двумерной передаточной функции замкнутой системы.

Если разомкнутая система инерционна, то ординаты передаточной функции стремятся к нулю при Поэтому в уравнениях (IV.66) и (IV.69) можно ограничиться конечным числом слагаемых по переменной Получающиеся конечные системы линейных алгебраических уравнений приближенно определяют передаточные функции замкнутых систем. Например, для вычисления получим из выражения (IV.69) для каждого систему из алгебраических уравнений

Матричная форма записи передаточных функций соединений. Полученные выше связи между передаточными функциями элементов и их соединений могут быть представлены в матричной форме. Ограничимся записью связей между матрицами двумерных нестационарных передаточных функций, полагая для простоты функции однотипными. В соответствии с формулами (IV.56) и (IV.63) имеем

Элементы с переменными параметрами в общем случае некоммутативны, что проявляется в данном случае в некоммутативности матриц в том, что

Матрица двумерной нестационарной передаточной функции элемента, обратного заданному, обратна его матрице. Матрицы прямого и обратного звеньев связаны соотношением

если существует.

Равенство указывает, что обратные элементы, присоединенные справа и слева к заданному элементу, одинаковы.

Матрица двумерной нестационарной передаточной функции замкнутой системы определяется формулой

представляющей собой решение систем уравнений (IV.69), записанное в матричном виде.

Можно найти другие формулы для матрицы двумерной нестационарной передаточной функции замкнутой системы, эквивалентные формуле (IV.74):

Отметим, что в формуле (IV.75) есть матрица передаточной функции системы, разомкнутой в точке 1 (см. рис. IV. 4, в), в формуле (IV.74) — матрица передаточной функции системы, разомкнутой в точке 2.

Формулы (IV.74) — (IV,76) имеют смысл, если существуют обратные матрицы. Матричную форму записи передаточных функций особенно удобно применять при отыскании передаточных функций многоконтурных систем.

Пример 5. Найдем в качестве примера двумерную нестационарную передаточную функцию системы, изображенной на рис. IV.5, если известны передаточные функции всех ее звеньев.

Рис. IV.5. Двухконтурная нестационарная система

Используя формулу (IV.75), запишем передаточную функцию внутреннего контура

и передаточную функцию системы

Подставляя формулу (IV.77) в (IV.78), исключим из этих двух выражений

Упрощая выражение (IV.79) так, чтобы в конечной формуле было минимальное число обращений, получим