3. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Пусть функция времени интегрируема в квадрате с весом на нестационарном отрезке т. е.

Будем аппроксимировать функцию на нестационарном отрезке линейной комбинацией первых функций нестационарной ортонормированной вещественной системы

где коэффициенты подлежат выбору.

За меру точности приближения обобщенного полинома к функции на нестационарном отрезке примем функцию

Нетрудно показать, что минимум функции в каждый момент достигается, если коэффициенты являются коэффициентами Фурье, определяемыми, формулами

Минимальное значение меры точности определяется выражением

Систему нестационарных ортогональных функций будем называть замкнутой, если справедливо соотношение

Любая система нестационарных ортогональных многочленов, а также системы нестационарных тригонометрических функций, рассмотренных выше, на конечном отрезке являются замкнутыми, что следует из замкнутости соответствующих стационарных систем.

Для замкнутой системы из выражения (IV. 16) вытекает формула

свидетельствующая о том, что при приближенное равенство (IV. 15) становится точным.

Ряд Фурье (IV. 19) является нестационарным, поскольку на нестационарном отрезке меняются как базисные функции так и коэффициенты Фурье Последние есть функции переменной от которой зависят концы отрезка.

Функция ординатами которой являются коэффициенты Фурье функции представляет собой одномерную спектральную характеристику функции по нестационарному ортонормированному базису называемую в дальнейшем просто нестационарной спектральной характеристикой. Нестационарная спектральная характеристика согласно выражению (IV. 17), определяется формулой

где — общий член ортонормироваинон системы

Нестационарная спектральная характеристика является функцией двух аргументов: дискретного аргумента и непрерывного Она описывает свойства функции времени на переменном отрезке времени а при фиксированном аргументе — на стационарном отрезке времени

Нестационарная спектральная характеристика может быть представлена в виде матрицы — столбца с бесконечным числом элементов, которыми являются ординаты спектральной характеристики

Если требуется представить нестационарную, спектральную характеристику матрицей-строкой, то будем последнюю определять как транспонированную матрицу [7].

Обратный переход от спектральной характеристики к функции времени, согласно выражению (IV.19), осуществляется по формуле

и практически может быть произведен путем численного или графического суммирования конечного числа членов ряда (IV.21). Поскольку нестационарный ряд Фурье является функцией большего числа независимых переменных, чем аппроксимируемая функция, то обратный переход можно выполнить двумя способами. Так, можно суммировать конечное число членов сечения ряда (IV.21) при фиксированном аргументе

Очевидно, что в этом случае восстанавливаемая функция будет найдена как функция времени в пределах стационарного отрезка Кроме того, восстанавливаемая функция может быть найдена как функция времени путем суммирования конечного числа членов сечения ряда (IV.21) при

если определено и тождественно не равно нулю, как, например, функции системы (IV.10): . Указанная особенность обратного перехода к функции времени имеет место и для двумерных нестационарных разложений, рассматриваемых ниже.

В этой главе часто используются нестационарные спектральные характеристики дельта-функции и ее производных. Понятие нестационарных спектральных характеристик можно распространить и на эти обобщенные функции. При этом можно показать, что нестационарные спектральные характеристики дельта-функции и ее производных вычисляются по общей формуле (IV.20).