5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Всякая линейная система с переменными параметрами описывается тремя нестационарными передаточными функциями. При этом все передаточные функции определяются как нестационарные спектральные характеристики импульсной переходной функции системы управления относительно ортонормированных систем функций, имеющих весовые функции, равные единице, и заданных на отрезках типа или на квадратах с образующими отрезками этого типа.

Нестационарной нормальной передаточной функцией линейной системы назовем нестационарную спектральную характеристику ее нормальной импульсной реакции

Нестационарной сопряженной передаточной функцией линейной системы назовем нестационарную спектральную характеристику ее сопряженной импульсной реакции (здесь в отличие от [14], [17] она представляется матрицей-строкой):

Двумерной нестационарной передаточной функцией линейной системы назовем двумерную нестационарную спектральную характеристику ее импульсной переходной функции:

Отметим, что при вычислении передаточных функций по формулам (IV.34), (IV.35) и (IV.36) следует иметь в виду, что

Обратный переход от нестационарных передаточных функций к импульсной переходной функции в соответствии с выражениями (IV.21), (IV.33) осуществляется по формулам

Согласно формулам (IV. 18), (IV.28), точность аппроксимации импульсной переходной функции усеченными рядами Фурье (IV.38), (IV.39), (IV.40) определяется соответственно выражениями

Из выражений (IV.41)-(IV.43) следует, что ординаты нестационарных передаточных функций инерционных систем стремятся к нулю при неограниченном росте дискретных аргументов. Поэтому инерционные системы приближенно можно описывать конечным числом ординат передаточных функций. Связь двумерной нестационарной передаточной функции с одномерными устанавливается формулами

Итак, зная одну передаточную функцию, можно найти две остальные.

Пример 4. Найдем нестационарные передаточные функции элементарных звеньев. Безынерционный усилитель с постоянным коэффициентом усиления к. Импульсная переходная функция усилителя имеет вид:

По формулам (IV.34), (IV.35), (IV.36), полагая, что вычислим:

где — символ Кронекера.

Заметим, что если двумерная передаточная функция безынерционного усилителя определена на квадрате относительно системы, составленной из однотипных функций, то ее матрица является диагональной (и единичной, если

Безынерционный усилитель с переменным коэффициентом усиления Импульсная переходная функция этого усилителя имеет вид: Двумерная нестационарная передаточная функция, определенная относительно системы (IV.13), описывается формулой

Матрица, составленная по этому выражению, имеет вид

(см. скан)

где

Интегратор. В данном случае Двумерная нестационарная передаточная функция, определенная относительно системы (IV. 13), описывается формулой

Матрица, составленная по этому выражению, имеет вид

(см. скан)

где

Дифференциатор. Импульсная переходная функция дифференциатора на конечном прямоугольнике задается выражением

где Учитывая это, найдем двумерную нестационарную передаточную функцию дифференциатора относительно системы (IV.13):

Элементы матрицы возрастают по модулю с ростом .

Нестационарные передаточные функции ошибки системы задаются соответственно формулами (IV.34), (IV.35), (IV.36), где нужно заменить на импульсную переходную функцию ошибки