7. АНАЛИЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ

Анализ устойчивости на бесконечном интервале времени. Анализ устойчивости систем регулирования конечного состояния [12] на бесконечном интервале времени прежде всего важен потому, что он позволяет установить отсутствие полюсов передаточной функции в правой полуплоскости в интересующем нас конечном интервале времени, что существенно, например, для

возможности применения частотного метода построения переходного процесса.

При анализе устойчивости целесообразно использовать частотный критерий устойчивости, аналогичный критерию устойчивости для систем с постоянными параметрами. Воспользуемся определением устойчивости на бесконечном интервале в смысле неравенства (1.175). Для выполнения условия (1.175) необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция системы или ошибки не имела особых точек в правой полуплоскости при всех

Можно доказать, что для обеспечения устойчивости системы годограф ее передаточной функции ошибки не должен охватывать начала координат при изменении от 0 до при всех значениях

Передаточная функция разомкнутой мгновенно-эквивалентной системы с постоянными параметрами связана с передаточной функцией ошибки исходной нестационарной системы уравнением

Каждой нестационарной системе соответствует семейство стационарных систем, эквивалентных ей для различных моментов времени Нетрудно установить, что для обеспечения устойчивости годограф передаточной функции эквивалентной системы не должен охватывать точку т. е. линейная переменная система данного класса устойчива в интервале если в этом интервале устойчивы все эквивалентные стационарные системы.

Следовательно, для систем рассматриваемого класса можно пользоваться критерием устойчивости Найквиста, определяя с его помощью устойчивость стационарных систем, эквивалентных данной переменной системе в различные моменты времени. По аналогии с системами, параметры которых постоянны, можно ввести понятия о запасах по фазе и амплитуде. В данном случае запасы по фазе и амплитуде будут зависеть от времени, причем их минимальные значения всегда имеют место при

Анализ динамической точности при типовых воздействиях [8]. Вычисление динамических и случайных ошибок систем конечного состояния можно произвести достаточно просто, если известна импульсная переходная функция Для устойчивых систем построение импульсных переходных функций можно осуществить с помощью метода трапецеидальных характеристик [4], который справедлив и в случае иррациональных передаточных функций (см. кн. 2, гл. XI).

Если известна амплитудно-фазовая частотная характеристика системы для некоторого момента

времени то импульсную переходную функцию можно вычислить по формуле

Согласно методу трапецеидальных характеристик, формулу (II 1.81) можно записать в виде

В соответствии с формулой (II 1.82) для построения импульсной переходной функции нужно построить мнимую частотную характеристику системы для момента времени умножить ее на частоту со, а затем разбить полученную характеристику на трапеции. Далее с помощью йх-функций осуществить построение графика

После нахождения импульсной переходной функции можно вычислять динамические ошибки, вызванные любым возмущающим воздействием при помощи формулы (1.7). Этим методом следует пользоваться при определении динамических ошибок, вызванных сигналом сложной формы.

При вычислении реакции системы в некоторый момент времени, вызванной типовым воздействием (единичным ступенчатым, линейно нарастающим), удобнее использовать частотный метод определения динамических ошибок. При Этом нет необходимости предварительно вычислить импульсную переходную функцию. Поскольку динамическая ошибка является функцией интервала действия возмущения , уравнение можно записать в виде

Преобразуя по Лапласу левую и правую части уравнения (111.83), получим

В последнем выражении преобразование осуществлено по переменной . Из уравнения (111.84), следует, что с помощью передаточной функции и преобразования возмущения можно найти преобразование Лапласа от ошибки в конечный момент времени как функции интервала действия возмущения По форме уравнений (II 1.82) и (II 1.83) напоминают известные выражения, связывающие вход и выход стационарной системы. Однако в

нестационарной системе значение выходной функции зависит от двух переменных: времени и интервала действия возмущения т. е.

Поэтому преобразование Лапласа по 0в при фиксированном значении определяет зависимость выходной переменной в некоторый момент времени от интервала действия возмущения.

Отряженный переходный процесс систем рассматриваемого класса позволяет найти зависимость конечных динамических ошибок от времени действия возмущений и полного времени работы системы. Кроме того, сопряженный переходный процесс позволяет определить наиболее опасные по длительности и форме возмущения, приводящие к наибольшим ошибкам.

Из уравнения (111.84) следует, что

Аналитическое решение уравнения (II 1.85) весьма затруднительно, так как функция может иметь точки разветвления; поэтому воспользуемся методом трапецеидальных частотных характеристик [7]. Порядок построения сопряженного переходного процесса в системе рассматриваемого класса следующий: сначала построим логарифмические частотные характеристики системы от точки приложения возмущения к выходу системы затем на том же графике, используя информацию о возмущеинн, строим логарифмические частотные характеристики возмущающего воздействия

далее, складывая полученные характеристики, строим характеристики после этого с помощью номограммы для определения вещественной частотной характеристики находим которую затем разбиваем на трапеции, и с помощью таблиц -функцпй строим сопряженный переходный процесс.

Для иллюстрации рассмотрим пример построения сопряженного переходного процесса.

Пример 3. Для системы, структурная схема которой изображена на рис. III.4, где а логарифмические частотные характеристики функции изображены на рис. 111.9, найдем динамические ошибки от возмущения вида которое приложено к выходу системы, в момент времени

Используя метод построения, изложенный выше, найдем график функции приведенный на рис. III.10. Этот график показывает, как изменяется конечная ошибка в зависимости от интервала действия возмущения.

Для сравнения различных вариантов системы рассматриваемого класса удобно использовать интегральные оценки сопряженных переходных процессов. В этом случае точность системы при различных и интервалах действия возмущения можно характеризовать площадью, ограниченной квадратом функции

Рис. III.10. Характеристика сопряженного переходного процесса

Если эту величину разделить на максимальное время работы системы, то получим среднее значение квадрата динамической ошибки

Интеграл (II 1.86) можно вычислить непосредственно по частотным характеристикам, если воспользоваться теоремой Парсеваля.

Используя эту теорему, уравнение (II 1.86) можно записать в виде

или

Анализ динамической точности при случайных воздействиях. Рассмотрим вопрос прохождения нестационарного случайного сигнала через систему конечного состояния. Пусть на вход системы, начиная с момента времени поступает случайное возмущающее воздействие со средним значением, равным нулю, и корреляционной функцией

Дисперсия выходной переменной определяется выражением

Для практики представляет интерес частный случай, когда сигнал является белым шумом переменного уровня, т. е. если корреляционная функция шума

где — уровень спектральной плотности белого шума в момент времени

С учетом этого уравнение (II 1.90) можно записать:

Выражение (II 1.90) имеет такой же вид, как и уравнение (III.83), если в последнем подставить вместо значение а вместо функцию Порядок вычисления дисперсии ошибки во временной области будет такой же, как и в случае определения реакции на детерминированное возмущение. В этом случае нужно построить на одном графике квадрат импульсной переходной функции и изменение уровня шума , перемножить их и, спланиметрировав площадь, ограниченную полученной кривой, найти значение дисперсии для момента времени

Вычисление случайных ошибок системы с переменными пара метрами рассматриваемого класса можно осуществлять и непосредственно в частотной области при помощи выражения, определяющего дисперсию случайной ошибки системы:

Выражение (II 1.93) показывает, что для вычисления случайных ошибок можно использовать частотные характеристики системы.

Следует отметить, что уравнение (II 1.93) аналогично уравнению (III.88), которое определяет интегральную оценку динамической ошибки. Поэтому вычисление дисперсии случайной ошибки можно осуществить таким же образом, как вычислялась интегральная оценка.

Для конечного момента времени уравнение (II 1.93) можно записать в виде

Иногда интегрирование удобнее производить в области логарифмических частотных характеристик. В этом случае можно использовать уравнение