II. ГРАССМАНОВ ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ

Линейные элементы (векторы).

Будем исходить снова из идей, изложенных нами в начале первой главы; там мы из координат трех точек составили определитель

и толковали его как удвоенную площадь треугольника, т. е. как площадь параллелограмма.

Рассмотрим теперь еще таблицы соответственно ,

образованные из координат двух или соответственно одной точки. Эти таблицы будем называть матрицами. На каждую такую матрицу условимся смотреть как на представительницу совокупности всех определителей, которые получаются из нее вычеркиванием одного или соответственно двух столбцов.

Таким образом, из первой матрицы, опуская первый или соответственно второй столбец, получаем определители второго порядка

а опуская третий, — определитель

принятый здесь выбор обозначений окажется целесообразным для геометрического описания в дальнейшем.

Мы должны исследовать, какой геометрический образ фиксируется этими тремя определителями этот образ мы сможем тогда считать с таким же правом новой элементарной геометрической величиной, с каким до сих пор считали таковой площадь треугольника.

Из второй однострочной матрицы возникают в качестве однострочных определителей (первого порядка) наряду с числом единица еще и сами координаты ; последние определяют точку с этими координатами как простейшую элементарную величину и, следовательно, не требуют дальнейших исследований.

Теперь не представит затруднения для понимания, если я сразу же выскажу принцип Грассмана в общем виде: пусть для плоскости и для пространства рассматриваются все матрицы (имеющие меньше строк, чем столбцов), у которых каждая строка составлена из координат одной какой-либо точки и из единицы; требуется исследовать, какие геометрические образы фиксируются теми определителями, которые получаются из этих матриц вычеркиванием достаточного числа столбцов. Этот принцип установлен здесь до известной степени произвольно и лишь постепенно выяснится, насколько ценным путеводителем среди множества основных геометрических образов он является; позже мы увидим в нем естественный источник большого круга идей, которые охватывают всю геометрическую систематику.

Рис. 31

Вернемся теперь опять к конкретной проблеме на плоскости: что известно о фигуре (рис. 31) из двух точек 1, 2, если заданы значения определителей X, У, N? Очевидно, в положении обеих точек остается еще одна степень свободы, ибо оно вполне определяется лишь четырьмя величинами. Я утверждаю: для X, Y, N получается одна и та же тройка значений тогда и только тогда, когда точка 1 является концом, а точка 2 началом отрезка с определенной длиной и направлением, но могущего как угодно передвигаться вдоль определенной прямой; направление отрезка мы будем здесь, как и в дальнейшем, отмечать етрелкой, направленной от начальной точки 2 к конечной точке 1.

То, что величины X, У, N определяют собой прямую, соединяющую точки 1, 2, непосредственно ясно, поскольку ее уравнение

можно записать также в виде

отсюда видно также, что эта прямая вполне определяется одними отношениями

Далее, на основании наших прежних исследований о длинах отрезков и площадях треугольников мы заключаем, что X и Y представляют собой проекции направленного отрезка (1,2), идущего от 2 к 1, на оси х и у, а — удвоенную площадь треугольника с направлением обхода 0, 1, 2. Очевидно, единственными изменениями в положении точек 1, 2, при которых все эти три величины остаются без изменения, являются передвижения отрезка вдоль его прямой при сохранении его длины и направления.

Этим наше утверждение доказано. Такой отрезок определенных длины и направления, лежащий на определенной прямой, Грассман назван линейным, элементом. Теперь в литературе более употребительно название вектор, точнее, скользящий вектор, в отличие от обыкновенного или «свободного» вектора, для которого допускается всякий, хотя бы и выводящий его из прямой параллельный перенос, сохраняющий его длину и направление. Этот скользящий вектор, определяемый матрицей

или соответственно определителями X, Y, N, является, следовательно, первым элементарным геометрическим образом, который мы рассматриваем, следуя принципу Грассмана.

Тут же замечу, что величины X, Y сами по себе определяют свободный вектор, ибо они не изменяются и при параллельном переносе отрезка в сторону от содержащей его прямой — аналогично тому, как отношения эквивалентные двум величинам, определяют только неограниченную прямую, но не длину отрезка на ней.

Свободный вектор и неограниченная прямая являются, таким образом, двумя побочными образами, с которыми мы здесь встречаемся.

Принцип, который является руководящим при введении таких побочных образов, будет установлен лишь впоследствии.

Рис. 32