3. Некоторые примеры

Вид алгебраических кривых определенного порядка или класса.

Разрешите мне сначала сказать несколько слов о двойственных преобразованиях и о той роли, которую они играют в учении о форме алгебраических кривых. Присмотримся, как изменяются типичные формы кривых при двойственных преобразованиях, например, при взаимном полярном соответствии относительно какого-нибудь конического сечения; при этом нам придется, конечно, ограничиться очень немногими характерными случаями. Так, в случае кривых третьего порядка, я отмечаю сперва нечетный тип кривой, характеризуемый тем, что со всякой прямой кривая пересекается в одной или в трех точках.

На приведенном эскизном наброске (рис. 82) кривая имеет одну асимптоту, но из нее можно сразу получить кривую с тремя асимптотами, проективно преобразовав плоскость чертежа таким образом, чтобы какая-нибудь прямая, пересекающая нашу кривую трижды, перешла в бесконечно удаленную прямую. В рассматриваемом случае кривая имеет три действительных точки перегиба, которые имеют особое свойство — лежать на одной прямой

Рис. 82

При дуализировании (двойственном преобразовании) этой кривой получается кривая третьего класса, к которой из каждой точки можно провести одну или три действительные касательные.

Точке перегиба соответствует при этом острие, что, конечно, следует себе уяснить обстоятельным размышлением; вы можете, между прочим, найти подробное развитие этих идей в моих прежних лекциях по геометрии. Возникающая при этом кривая третьего класса (рис. 83) имеет, следовательно, в целом три острия, а касательные в них должны проходить через одну и ту же точку Р, которая дуально соответствует прямой g, содержащей наши три точки перегиба.

Аналогичные краткие замечания я сделаю еще о кривой четвертого порядка и четвертого класса. Кривая четвертого порядка может иметь форму овала с одной впадиной; могут даже встретиться кривые с двумя, тремя и четырьмя впадинами (рис. 84).

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

В первом случае имеются две действительные точки перегиба и одна действительная двойная касательная, а в остальных — до восьми точек перегиба и до четырех двойных касательных. Дуализируя, мы должны к уже сказанному раньше прибавить еще то соображение, что двойной касательной взаимно соответствует двойная точка. Таким путем получаются типы кривых четвертого класса, имеющие от двух до восьми остриев и от одной до четырех двойных точек, как эскизно показано на рис. 85.

Более детальное изучение различных форм алгебраических кривых представляет своеобразную прелесть, но я не могу, к сожалению, останавливаться на этом подробнее и должен удовлетвориться этими краткими указаниями. Они, однако, достаточно ясно показывают, как наши двойственные преобразования подводят под один и тот же закон вещи, которые для наивного представления настолько различны, насколько это только возможно.