Связь с теорией винтов.

Обратим теперь особое внимание на направление нормали к нулевой плоскости, принадлежащей точке отношение ее направляющих косинусов равно, как известно, отношению коэффициентов уравнения (2) этой плоскости, т. е.

Но это направление можно также рассматривать как связанное с точкой направление некоторого бесконечно малого винтового движения пространства. А именно, если все пространство повернуть как твердое тело вокруг оси z на конечный угол со и передвинуть его одновременно параллельно оси z на расстояние с, то каждая точка х, у, z перейдет в новое положение х, у, z, определяемое уравнениями

От этого конечного винтового движения перейдем к бесконечно малому, заменяя со бесконечно малой величиной и принимая одновременно Знак минус означает здесь, что при поворот в плоскости отрицателен, если перенос произведен в положительном направлении z, т. е. что направление винтового движения отрицательно (левое или левовращающее винтовое движение). Пренебрегая величинами второго и высших порядков по отношению к следовательно, полагая получаем

Следовательно, приращениями координат определенной точки при этом бесконечно малом винтовом движении являются

т. е. перемещается в направлении

А это в точности совпадает с направлением нормали (3). Следовательно, если произвести такое бесч конечно малое винтовое движение пространства вокруг центральной оси, при котором величина параллельного переноса является -кратным угла поворота (взятого отрицательным), то в каждой точке пространства принадлежащая ей плоскость нулевой системы с параметром k нормальна к бесконечно малому отрезку траектории, пробегаемой этой точкой.

Поскольку представление о винтовом движении является очень наглядным, можно, пользуясь сказанным выше, составить себе живую картину расположения плоскостей нулевой системы. Чем больше, например, расстояние от точки до центральной оси, тем длиннее горизонтальная проекция элемента пути, описываемого этой точкой при винтовом движении, и потому тем более отлого расположен этот элемент, ибо его высота постоянна, а значит, тем круче подымается нормальная к этому элементу пути плоскость нулевой системы. Если соединить бесчисленное множество таких бесконечно малых винтовых движений в одно непрерывное винтовое движение пространства, то каждая точка, лежащая на расстоянии от центральной оси, описывает винтовую линию. Угол наклона этой линии к горизонту имеет тангенс, равный а потому шаг винта имеет всегда одно и то же не зависящее от значение плоскости, нормальные к этим винтовым линиям, и являются нулевыми плоскостями системы.

Рис. 39

До сих пор мы говорили только о нулевых плоскостях системы; теперь, в заключение, постараемся составить непосредственно наглядную картину самих нулевых осей. Возьмем какую-либо нулевую ось g (рис. 39) и построим кратчайшее расстояние от нее до центральной оси как общий перпендикуляр этих двух прямых. Пусть он пересекает центральную ось в точке Q, а ось g— в точке Р. Тогда PQ как полупрямая, идущая из Р перпендикулярно центральной оси, принадлежит нулевой системе, а поэтому плоскость должна быть нулевой плоскостью системы, принадлежащей точке Р. Но так как ось g перпендикулярна прямой PQ, то она образует с горизонтальной плоскостью такой же угол как и нулевая плоскость в точке Р, т. е. где

Следовательно, мы получим все нулевые оси, проводя в точке Р, расположенной на полупрямой, перпендикулярной центральной оси, такой перпендикуляр к этой полупрямой, чтобы угол его наклона к горизонту имел тангенс, равный где — расстояние от точки Р до центральной оси.

Рис. 40

Это построение можно сделать еще немного более наглядным, поступая следующим образом: строим круговой цилиндр радиуса , имеющий центральную ось динамы своей осью, и чертим на нем все винтовые линии (рис. 40) с наклоном к горизонту, определяемым из равенства тогда совокупность всех касательных к этим винтовым линиям тождественна, очевидно, с совокупностью всех нулевых осей, проходящих на расстоянии от центральной оси. Варьируя , получаем все нулевые оси. Эти винтовые линии при удалении от центральной оси становятся, очевидно, все круче; в каждой точке такой линии нулевая плоскость, принадлежащая этой точке, служит также соприкасающейся плоскостью рассматриваемой линии. Поэтому эти винтовые линии проходят перпендикулярно к ранее упомянутым винтовым линиям, которые в каждой своей точке нормальны к соответствующей нулевой плоскости.

После этих рассуждений, вскрывших двойную связь нулевой системы с винтами, становится понятным, почему всю эту теорию называют также коротко теорией винтов (или «винтовым исчислением»); в частности, это название употребил Болл, написавший книгу «Теория винтов», где он действительно изучает все геометрические соотношения, связанные с заданной динамой, приложенной к твердому телу.

Вернемся теперь к нашему систематическому развитию идей. Следуя грассманову принципу, мы получили в качестве четырех элементарных геометрических пространственных образов точку, линейный элемент, плоскостной элемент и пространственный элемент. Точно так же, как и на плоскости, нашей ближайшей задачей будет исследование поведения этих образов при преобразованиях прямоугольной системы координат и затем их классификация на основании ранее высказанного общего принципа.