Содержание 13 книг Евклида.

После этой общей критики евклидовых «Начал» мы можем перейти к их детальному рассмотрению. Позвольте начать с краткого обзора содержания тех «13 книг», т. е. глав, из которых состоят «Начала».

В книгах с 1-й по 6-ю излагается планиметрия. Первые 4 книги содержат общие рассуждения об основных геометрических образах (отрезках, углах, частях плоскости и т. д.) и учение о простых геометрических фигурах (треугольниках, параллелограммах, окружностях, правильных многоугольниках и т. д.) в том виде, в каком их излагают по большой части еще и теперь. Здесь же (в книге 2-й) дается также элементарная арифметика и алгебра геометрических величин. Чтобы представить себе характер изложения, приведу только один пример: произведение двух отрезков а, b изображается в форме прямоугольника; для сложения двух таких произведений и ей, что арифметически можно выполнить непосредственно, приходится (чтобы получить сумму снова в виде прямоугольника) превратить оба прямоугольника в прямоугольники с одинаковым основанием.

Содержание 5-й книги гораздо глубже; в ней вводится геометрический эквивалент вообще всякого положительного действительного числа. Им является отношение у любых двух отрезков а, b, которое Евклид называет Logos (Яоуоа),

Когда в прошлом семестре мы говорили об иррациональных числах, я уже отмечал это. Существенным моментом в этой теории является определение равенства двух отношений и это определение должно иметь совершенно общий характер, в частности, оно должно быть приложимо и в том случае, когда у - представляет собой в нашем понимании иррациональное число, т. е. когда, как говорит Евклид, отрезки а, b не имеют общей меры, или, как это стали называть позже, несоизмеримы. Евклид поступает таким образом: он берет любые два целые числа и сравнивает, с одной стороны, отрезки та и а с другой — отрезки в любом случае будет иметь место какое-нибудь одно из трех соотношений

и точно так же одно из трех соотношений

Если при всяком выборе чисел и в первом, и во втором случаях всегда получается один и тот же знак или то говорим, что Это фактически вполне соответствует элементарному методу сечений, с помощью которого Дедекинд вводит иррациональные числа.

Вслед за этим Евклид исследует, как надо производить вычисления с такими равенствами отношений, и развивает свое много раз уже упоминавшееся учение о пропорциях, т. е. геометрическую теорию всевозможных алгебраических преобразований равенств типа Заметим, что у Евклида пропорция называется «Analogia»; это слово должно означать: Logos двух пар величин один и тот же. Вы видите, как поразительно сильно изменилось с тех пор значение этого слова. Впрочем, в математике имеются места, в которых оно сохранило до сегодняшнего дня свое первоначальное значение; так, в тригонометрии говорят об аналогиях Непера именно потому, что они представляют собой известные пропорции.

Но несомненно, что теперь лишь очень немногим известен собственный смысл этого названия.

Учение о пропорциях представляет собой характерный пример того, с каким упорством держится в преподавании геометрии евклидова традиция. Еще до сего времени во многих (да, пожалуй, даже в большинстве) школ это учение трактуется как особая глава геометрии, хотя по своему содержанию оно полностью содержится в нашей современной арифметике и соответственно этому уже до того изучается в школьном курсе математики даже дважды: первый раз в курсе арифметики при решении задач посредством тройного правила, а во второй раз в начальном курсе буквенного исчисления. Зачем в таком случае те же самые вещи должны появляться еще в третий раз и притом в форме особенно таинственного геометрического откровения, это поистине невозможно понять, и оно должно, конечно, и для ученика оставаться совершенно непонятным.

Единственное основание этого заключается в том, что все еще придерживаются старого евклидова построения курса, хотя та разумная цель, которую Евклид преследовал своим учением о пропорциях, — заменить им отсутствовавшую у него арифметику — для нас стала совершенно бессодержательной.

Эта критика современной постановки учения о пропорциях не относится, конечно, к научному значению 5-й книги Евклида; напротив, последнее тем более велико, что здесь впервые, выражаясь в современных терминах, совершенно безупречно изложено оправдание выполнения действий с иррациональными числами на основании четких определений. Здесь особенно ясно видно, что «Начала» ни в коем случае никогда не были и теперь не являются школьным учебником, как это по недоразумению часто принималось; напротив, они несомненно, предполагают более зрелого читателя, могущего следить за чисто научными рассуждениями.

Я должен упомянуть здесь еще о том традиционном мнении, что 5-я книга не написана самим Евклидом, а принадлежит Евдоксу из Книды (около 350 г. до н. э.).

Вообще «Начала» не считают единым, написанным сразу целиком сочинением, а полагают, что они составились из различных более ранних составных частей.

Как бы там ни было, но во всяком случае все определенные указания относительно подлинных авторов и т. д. сопряжены с полной неуверенностью, так как не сохранилось никаких исторических заметок, которые принадлежали бы Евклиду или кому-либо из его современников. В данном случае традиция восходит к комментатору Евклида Проклу Диадоху, который жил около 450 г. н. э., т. е. более чем через 700 лет после Евклида. Хотя по некоторым причинам мнение Прокла и обладает известной долей внутренней вероятности, но признать его за абсолютно верное свидетельство можно не в большей мере, чем теорию какого-нибудь нашего современника об авторстве сочинения, написанного около 1200 г.

Продолжая обзор содержания «Начал», отметим, что книга 6-я содержит учение о подобных фигурах, причем главным орудием в ней является как раз упомянутая теория пропорций.

В книгах 7-й, 8-й, 9-й, заключается учение о целых числах, частью в геометрической форме. При этом для пропорций с целыми числами, т. е. для вычислений с рациональными дробями, дана теория, совершенно не зависящая от построений 5-й книги. Хотя рациональные дроби являются только частным случаем действительных чисел, однако здесь более общая теория, развитая ранее, совершенно не принимается во внимание. Трудно представить, что оба изложения принадлежат одному автору.

Из содержания этих книг я хотел бы упомянуть здесь только о двух вещах, которые еще и теперь постоянно применяются в теории чисел. Это, во-первых, алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел а и b, которые у Евклида изображаются в виде отрезков. В современных терминах этот алгоритм состоит в том, что а делят на b, затем b делят на остаток от этого предыдущего деления и так продолжают поступать далее по схеме

пока не обраружится деление без остатка, что необходимо должно случиться после конечного числа шагов; последний остаток и будет тогда искомым делителем.

Во-вторых, уже у Евклида имеется известное простое доказательство существования бесконеч но многих простых чисел, которое я изложил уже в предыдущем курсе.

Далее, в книге 10-й, которая со своим геометрическим способом выражения особенно тяжеловесна и трудна для понимания, изложена геометрическая классификация иррациональностей, представимых в квадратных радикалах в той форме, в какой она позже применяется для их геометрического построения.

Только после этого, в 11-й книге, мы встречаем начала стереометрии. Как видите, Евклид отнюдь не «фузионист». Напротив, он отодвигает стереометрию от планиметрии насколько возможно дальше, тогда как мы теперь, в согласии с часто упоминавшимися «фузионистскими стремлениями», считаем правильным развивать возможно раньше пространственные представления в целом и для этого с самого начала приучать ученика к трехмерным фигурам вместо того, чтобы сначала искусственно прививать ему ограничение плоскостью.

В 12-й книге мы снова встречаемся с общим исследованием иррациональных величин, которые становятся необходимыми для определения объема пирамиды и других тел. Речь идет здесь о завуалированном применении понятия предела в так называемом доказательстве по методу исчерпывания, с помощью которого строго устанавливаются пропорции между иррациональными величинами. Впрочем, этот метод сначала применяется для доказательства того планиметрического предложения, что площади двух кругов относятся, как квадраты их радиусов. На примере этой пропорции я хочу также в двух словах изложить основную мысль упомянутого метода. К каждому кругу можно все лучше и лучше приближаться с помощью вписанных и описанных -угольников с бесконечно растущим числом сторон, так сказать, «исчерпывая» его, в том смысле, что площадь многоугольника будет отличаться сколь угодно мало от площади круга.

Если бы вышеупомянутая пропорция не имела места, то легко можно было бы прийти к противоречию с тем, что каждый вписанный многоугольник меньше круга, а каждый описанный — больше него (рис. 125).

Рис. 125

Наконец, в 13-й книге излагается теория правильных тел; эта теория увенчивается доказательством (основанным на материале, накопленном в 10-й книге) того, что все эти тела, т. е. длины их ребер, могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Такое завершение «Начал» соответствует тому особенному интересу, который правильные тела с древних времен представляли для греческих философов.