Аксонометрия (аффинное отображение пространства с нулевым определителем).

Гораздо более интересной и важной, чем это отображение одной плоскости на другую, представляется проблема отображения всего пространства на плоскость посредством параллельного проектирования — проблема, к которой мы теперь переходим; при этом во избежание многословий условимся заранее всегда допускать увеличение или уменьшение изображения при помощи преобразования подобия. Таким образом, возникает тот способ изображения, который в начертательной геометрии называют аксонометрией; на практике ему принадлежит чрезвычайно важная роль.

Каждая фотография приближенно представляет собой аксонометрическое отображение, если только изображенный предмет был достаточно удален от аппарата (строго говоря, фотография является центральной проекцией); точная же аксонометрия применяется прежде всего в тех случаях, когда хотят изобразить пространственные геометрические фигуры, физические аппараты, архитектурные детали и тому подобное.

Разрешите мне теперь сразу же высказать то предложение, которое связывает эту аксонометрию с нашими предыдущими рассуждениями об аффинных преобразованиях: отображение пространства на плоскость посредством параллельного проектирования и преобразования подобия (аксонометрия) аналитически изображается посредством аффинного преобразования с равным нулю определителем 84):

Это как раз тот исключительный случай, рассмотрение которого мы в свое время отложили на будущее. Вы видите, насколько важны эти «вырождающиеся» преобразования, хотя их, к сожалению, очень часто и совершенно несправедливо оставляют без внимания. Далее, оказывается справедливым также и следующее обратное предложение: каждая такая подстановка с определителем дает некоторое аксонометрическое отображение. При этом необходимо, чтобы не все коэффициенты этой подстановки и даже не все составленные из них миноры второго порядка были равны нулю, ибо в противном случае получились бы дальнейшие вырождения, которые я могу здесь пропустить, поскольку они легко могут быть исследованы по указанному ниже образцу.

Для доказательства нашего утверждения убедимся прежде всего в том, что все точки , получаемые из (1) (для произвольных х, у, z), действительно лежат в одной плоскости, т. е. в том, что существуют такие три числа для которых выполняется тождественно относительно х, у, z равенство

В самом деле, это тождество эквивалентно в силу (1) такой системе трех линейных однородных уравнений:

а эти последние, как известно, определяют отношения однозначным образом как раз в том случае, когда обращается в нуль определитель А из коэффициентов, но без обращения в нуль всех его девяти миноров второго порядка. Поэтому все точки изображения действительно лежат в одной плоскости (2), определяемой уравнениями (2).

Выберем теперь в пространстве R такую новую прямоугольную систему координат, чтобы плоскость (2) превратилась в плоскость Тогда каждой точке пространства R должна соответствовать некоторая точка в плоскости и уравнения нашего аффинного преобразования необходимо должны иметь в новых координатах такой вид:

При этом шесть постоянных ничем уже не регламентированы, ибо ввиду специальной формы записи последней строки определитель нашей подстановки всегда равен нулю; не должны только одновременно обращаться в нуль все три минора второго порядка (т. е. не должно быть ), так как в противном случае имело бы место дальнейшее вырождение, которое мы исключили из рассмотрения с самого начала.

Доказательство того, что определенные таким образом аналитические отображения пространства R на плоскость Е (в данном случае на плоскость действительно совпадают геометрически с определенными выше аксонометрическими проекциями, я разобью на несколько отдельных шагов, выводя одновременно главные свойства этого - отображения (3), подобно тому, как я поступал ранее (c. 108-113),

1. Прежде всего, ясно, что каждой точке из R однозначно соответствует некоторая точка на Е. Наоборот, если задать какую-нибудь точку на Е, то уравнения (3) будут выражать, что соответствующая точка х, у, z из R лежит на двух определенных плоскостях, коэффициенты которых, согласно нашему предположению, не пропорциональны и которые поэтому имеют собственную (т. е. не бесконечно удаленную) линию пересечения; все точки этой прямой должны в нашем преобразовании соответствовать заданной точке . При изменении точки х, у каждая из этих двух плоскостей перемещается параллельно самой себе, ибо коэффициенты и соответственно остаются неизменными. Следовательно, линия пересечения также остается параллельной самой себе, и мы приходим к тому результату, что каждой точке плоскости Е соответствуют все точки одной из прямых, составляющих совокупность параллельных прямых в R. Этим уже намечена связь нашего отображения с параллельным проектированием пространства.

2. Точно так же, как и в п. 3) (с. 111), относящемуся к случаю общего аффинного преобразования, найдем теперь формулы для компонент X, Y отрезка на плоскости Е, соответствующего свободному вектору из :

Это опять означает, что каждому свободному вектору из R соответствует некоторый свободный вектор X, Y на картинной плоскости или, точнее: если в пространстве R перемещать некоторый отрезок параллельно ему самому, сохраняя его величину и направление, то соответствующий ему отрезок на плоскости Е также будет перемещаться параллельно самому себе, сохраняя свою величину и направление.

3. В частности, рассмотрим единичный вектор на оси идущий от точки (0,0, 0): к точке (1,0, Q).

Ему, согласно (4), соответствует на Е вектор

идущий от начала О к точке с координатами Подобно этому, единичным векторам на осях у сответствуют два вектора, идущие от О к точкам с координатами и соответственно . Эти три вектора на плоскости Е — обозначим их кратко через (А), (В), (С) (рис. 58) - могут быть выбраны совершенно произвольно, ибо координатами своих концов они как раз и определяют упомянутые выше шесть произвольных параметров аффинного преобразования (3), так что этими векторами вполне определяется наше отображение; нужно только, чтобы все эти три вектора не попали на одну и ту же прямую, причем мы ради простоты предположим, что также никакие два из них не лежат на одной прямой.

Рис. 58

Рис. 59

Три единичных вектора, лежащие на координатных осях пространства R, имеют своими изображениями на Е — таков наш результат — три произвольных вектора, исходящих из начала О, которые, со своей стороны, вполне определяют рассматриваемое аффинное преобразование.

4. Чтобы установить отображение пространства на плоскость по данным векторам (А), (В), (С) также и геометрически, будем сначала исходить из какой-нибудь точки лежащей в плоскости вектор, идущий от О к р, можно получить, умножая единичный вектор оси на скаляр (число) единичный вектор оси у — на число у и складывая полученные два вектора (рис. 59). Но это построение сразу же можно перенести , ибо соотношение между плоскостью и плоскостью Е является, очевидно, обыкновенным двумерным аффинным соответствием (с не равным нулю определителем).

Итак, мы получим изображение точки умножая скалярно вектор (А) на вектор (В) на у и складывая полученные произведения по правилу параллелограмма (рис. 60). Таким образом, мы можем построить отображение на плоскость Е каждой точки плоскости а значит, и отображение по точкам всякой фигуры на ней.

5. Перенося эти рассуждения на произвольную точку пространства R, нетрудно прийти к такому результату (рис. 61): изображение точки с координатами у, z получается посредством векторного сложения (по правилу параллелограмма) векторов (А), (В), (С), предварительно умноженных соответственно на х, у, z.

Рис. 60

Рис. 61

В силу коммутативности сложения это построение может быть выполнено различными способами, так что точка получается как конец шести различных ломаных, состоящих из соответственно параллельных и равных отрезков. Образованная ими фигура (рис. 61) является, очевидно, отображением принадлежащего пространству R параллелепипеда, ограниченного тремя координатными плоскостями и тремя параллельными им плоскостями, проходящими через точку . Мы уже с юности привыкли сразу же воспринимать подобные плоские фигуры как изображение пространственных фигур, в особенности когда такому представлению помогают путем утолщения лежащих спереди ребер. Эта привычка настолько сильна, что указанное изображение параллелепипеда кажется почти тривиальным, тогда как в действительности оно представляет собой чрезвычайно примечательную теорему.

6. При помощи этого последнего построения можно дать на плоскости Е изображение всякой пространственной фигуры, т. е. всех ее точек. Я рассмотрю только один пример.

Имея шар с центром в начале О и радиусом единица, рассмотрим прежде всего те окружности, по которым он пересекает координатные плоскости. Например, окружность пересечения шара с плоскостью имеет своими сопряженными, т. е. взаимно перпендикулярными, радиусами единичные векторы на осях и у, поскольку же осуществляется аффинное отображение, то этой окружности соответствует некоторый эллипс (рис. 62), для которого точка О служит центром, а векторы (А) и (В) сопряженными полудиаметрами, так что этот эллипс вписан в параллелограмм, построенный на векторах Точно так же и эллипсы, соответствующие двум другим окружностям пересечения, имеют своими центрами точку О, а векторы (В) и (С) и соответственно (А) и (С) сопряженными полудиаметрами.

Рис. 62