Включение неевклидовой геометрии в проективную схему.

Обращаясь, наконец, к собственно математической трактовке неевклидовых геометрий, мы сделаем лучше всего, если выберем путь, ведущий через проективную геометрию; этот прием я указал в 1871 г.

Мы представляем себе проективную геометрию, построенную независимо от всякой метрики, исходя из основных понятий «точка, прямая, плоскость», с помощью относящихся к ним аксиом соединения, расположения и непрерывности таким именно образом, как я вкратце наметил в начале этих рассуждений об основаниях геометрии (с. 245-247). В частности, будем считать, что введены также точечные координаты или в однородном виде , а также плоскостные координаты , так что взаимная принадлежность (инцидентность) точки и плоскости записывается билинейным уравнением

На этой основе мы получили раньше обычную евклидову геометрию при помощи теории инвариантов и принципа Кэли, присоединяя специальную квадратичную форму, записанную в плоскостных координатах следующим образом:

которая, будучи приравнена нулю, изображает окружность сфер. При этом угол между плоскостями

и расстояние между двумя точками

являлись тогда, как мы показали (с. 240-242), простыми инвариантами данной фигуры (двух плоскостей или двух точек) и формы

Совершенно таким же образом мы хотим теперь прийти к неевклидовой геометрии; но только вместо мнимой окружности мы возьмем другую квадратичную форму, «близкую» к первой, а именно:

Здесь — параметр, который можно выбрать сколь угодно малым, и при получается Наш выбор формы Ф сделан таким образом, что при положительном получается НГ I, при отрицательном — НГ II, а при — написанные выше формулы обычной евклидовой геометрии.

Существенным при рассмотрении этой формы Ф является то, что ее определитель

вообще говоря, отличен от нуля и обращается в нуль только в частном случае , т. е. тогда, когда уравнение изображает, окружность сфер. Таким образом, наш прием сводится к тому, что мы заменяем квадратичную форму с равным нулю определителем такой же формой с необращающимся в нуль положительным либо, отрицательным (но по абсолютной величине как угодно малым) определителем.

Метрические величины наших неевклидовых геометрий мы получим путем образования из общей формы Ф и из фигуры, состоящей из двух плоскостей либо из двух точек, инвариантов, совершенно подобных тем, которыми являются указанные выше евклидовы величины для специальной формы Это есть не что иное, как принадлежащая Кэли (и высказанная им в 1859 г.) мысль о том, что по отношению к любой поверхности второго порядка (например, поверхности можно установить определение мер с таким же успехом, как и по отношению к окружности сфер. При том скромном размере, каким естественно должен быть ограничен здесь этот экскурс, представляется наиболее целесообразным предпослать в виде определений аналитические формулы. Это даст возможность быстрее всего точно сформулировать положение вещей, и при этом будет избегнута всякая тень чего-то таинственного. Конечно, такой способ изложения только в том случае может привести к полному пониманию предмета, если вслед за этим проработать его точным образом с геометрической стороны.

Начиная с рассмотрения двух плоскостей, нетрудно сообразить, как следует обобщить предыдущее выражение для угла между этими двумя плоскостями, измеренного по отношению к поверхности мы составляем точно таким же образом, как и раньше, из значений формы Ф и ее полярной формы выражение

это (очевидно, инвариантное) выражение действительно переходит при в выражение для угла в евклидовой геометрии.

Представляется не столь непосредственно ясным, какой именно вид должно иметь выражение для расстояния между двумя точками в нашем определении мер; трудность этого перенесения заключается в том, что теперь мы применяем форму с не равным нулю определителем вместо лежащей в основе евклидова определения мер формы с равным нулю определителем.

Но мы можем найти путь к установлению выражения для расстояний, если будем поступать в точности взаимным образом по сравнению с только что данным определением угла; тогда мы наверное снова получим некоторый инвариант. Итак, запишем сначала уравнение поверхности в точечных координатах; как известно, левая часть этого уравнения получается путем окаймления определителя А формы Ф точечными координатами

чтобы перенести теперь в точности выражение для и, составим частное из полярной формы по отношению к f и из произведения квадратных корней из значений формы f для точек 1 к 2, а затем возьмем арккосинус этого выражения

Присоединенный здесь множитель К позволяет нам принять за единицу любой отрезок, что соответствует нашему обыкновению и, кроме того, окажется необходимым при предстоящем нам переходе к евклидовой геометрии. При этом множителю К следует давать при отрицательном действительные, а при положительном чисто мнимые значения для того, чтобы оказывалось действительным для всей или же (при по крайней мере для значительной части всей области действительных точек, которая в таком случае образует действительный субстрат неевклидовой геометрии.

Можно было бы считать, что это дает нам общее определение расстояния, если бы только удалось показать, что при оно приводит снова к указанному выше выражению для евклидовой геометрии. Здесь это обстоит не так просто, как выше для угла . Действительно, если непосредственно положить то в частном получается единица, так что оказывается равным нулю с точностью до остающегося по необходимости неопределенным слагаемого, кратного

И все же, несмотря на этот на первый взгляд несколько парадоксальный результат, можно с помощью некоторого искусственного приема прийти в конце концов к евклидову выражению. Для этого будет удобным сначала несколько преобразовать выражение, определяющее , при помощи известного тождества

Приводя сразу же к общему знаменателю, находим

где

и

Числитель в этом выражении легко молено преобразовать. А именно, согласно известному соотношению из теории определителей значение определителя f (т. е. однократно окаймленного определителя А формы Ф) для точки умноженное на его же значение для точки 2, минус квадрат его полярной формы, составленной для точек 1 и 2, равно произведению самого определителя Д на этот же определитель, дважды окаймленный координатами точек 1 и 2, т. е. равно

Вычислив это выражение, находим

Тот, кого стесняют вычисления такого рода с определителями, может убедиться путем прямого вычисления в тождественности этого выражения с вышенаписанной формой числителя.

Если это выражение ввести в последнюю формулу для и положить затем то получится, конечно (так же, как и из первой формулы), по причине наличия множителя . Но если, прежде чем придавать значение нуль, сообщить ему лишь очень малое значение, то арксинус будет в первом приближении равен синусу; при этом в числителе можно пренебречь тремя квадратами, умноженными на , и точно так же в знаменателе отпадает в каждом сомножителе член, имеющий множитель , так что в первом приближении остается

А теперь применим упомянутый фокус. Вместо того чтобы приписывать коэффициенту К во время предельного перехода постоянное значение, заставим К одновременно бесконечно возрастать и притом таким образом, чтобы было

Для этого придется, конечно, заставить К пробегать по чисто мнимым либо по действительным значениям в зависимости от того, будет ли приближаться к нулю с положительной или отрицательной стороны. Но вместе с этим становится вполне очевидным, что путем такого предельного перехода действительно получается выражение для расстояния из обыкновенной евклидовой геометрии.

Если же вдуматься в геометрическое значение формы а также тех выражений, которые установлены здесь чисто аналитическим путем, то действительно окажется, что в случае мы имеем дело как раз с неевклидовой геометрией первого вида, при — с неевклидовой геометрией второго вида, а при — конечно, с евклидовой геометрией. Разумеется, я не могу дать здесь точное обоснование всего этого; интересующихся отсылаю к моим работам по неевклидовой геометрии.

Я в них предложил для этих трех геометрий названия гиперболическая, эллиптическая и параболическая геометрия, так как существование двух действительных, двух мнимых либо одной двойной параллели в точности соответствует числу и природе асимптот трех видов конических сечений. Эти названия вы можете часто встретить в литературе.

Рис. 124

Но я хотел бы на одном примере показать несколько подробнее, какой именно вид принимает теория параллелей на основании нашего выражения для расстояния; я выбираю для этой дели гиперболическую геометрию на плоскости. Тогда третью координату следует все время считать равной нулю, и наша квадратичная форма принимает вид будучи приравнена нулю, она изображает в силу того, что некоторое действительное коническое сечение, которое мы можем представить себе и начертить в виде эллипса. Формула расстояния принимает вид

с чисто мнимым К. Она дает, как нетрудно убедиться, действительные значения для таких точек, которые лежат внутри рассмотренного выше действительного конического сечения; при этом под внутренней областью понимаем совокупность всех тех точек плоскости, через которые не проходит ни одна действительная касательная к коническому сечению. Поэтому вся область операций действительной гипперболической геометрии состоит исключительно из точек этой внутренней области и из тех кусков прямых линий, которые расположены в ней. А сами точки конического сечения (рис. 124) изображают бесконечно удаленные элементы. Действительно, вышеуказанная формула дает для расстояния от любой точки 1 до какой-либо точки 2 конического сечения (для которой ) значение

Таким образом, на всякой прямой действительной гиперболической геометрии имеются в этом смысле две бесконечно удаленные точки — обе ее точки пересечения с коническим сечением а на каждой полупрямой О только одна. Если имеем прямую g и не лежащую на ней точку О, то параллелями через О в смысле нашего прежнего определения (с. 270), т. е. предельными положениями прямой, соединяющей О с точкой Р, уходящей по g в бесконечность, являются прямые, соединяющие О с точками, в которых g пересекается с коническим сечением, следовательно, в самом деле, имеются две существенно различные между собой параллели, каждая из которых принадлежит одному из двух направлений на

Разрешите сделать еще одно небольшое замечание, относящееся к сравнению с нашим первым построением евклидовой геометрии. Там исходным пунктом служила группа движений; это была совокупность всех коллинеаций, оставляющих неизменными метрические соотношения. Но и в случае (любой) неевклидовой геометрии тоже имеются подобные коллинеации. Общее однородное уравнение второго порядка имеет 10 коэффициентов, следовательно, оно имеет 9 существенных параметров; в случае самой общей пространственной колинеации имеется 15 произвольных параметров, так что существует еще шестикратно бесконечное семейство коллинеаций, переводящих (преобразующих) заданную квадратичную форму, например нашу форму Ф, в себя, а это ведь и является условием того, что введенные нами метрические соотношения не испытывают изменений. Поэтому в каждой неевклидовой пространственной геометрии тоже имеется шестикратно бесконечная группа «движений», оставляющих без изменений величины ; в случае геометрии на плоскости число параметров, как и раньше, свелось бы к трем.

Поэтому мы можем построить также любую неевклидову геометрию, исходя из существования некоторой группы движений; остается еще только уточнить, чем именно объясняется то, что при нашем прежнем построении мы приходили исключительно и именно к евклидовой геометрии.

Причина этого, конечно, состояла в том, что мы из всех движений выделяли специально некоторую двухпараметрическую (в пространстве это была бы трехпараметрическая) подгруппу так называемых параллельных переносов, для которых траекториями являются исключительно прямые линии.

Между тем ни в одной неевклидовой геометрии не существует подобных подгрупп; поэтому, постулируя их существование с самого начала, мы тем самым заранее исключили все неевклидовы геометрии и удержали одну только евклидову геометрию.