Общие замечания о современной аксиоматике геометрии.

А теперь разрешите мне закончить эти специальные разъяснения о неевклидовой геометрии несколькими, я бы сказал, руководящими положениями общего характера.

1. Если я выше упоминал о том, что со стороны философов неевклидова геометрия все еще часто не встречает полного понимания, то теперь я должен подчеркнуть, что в математической науке она в настоящее время пользуется всеобщим и полным признанием. Мало того, ею даже пользуются для многих целей, как, например, в современной теории функций и теории групп как чрезвычайно удобным вспомогательным средством для того, чтобы представить в наглядной форме арифметически запутанные соотношения.

2. Каждый преподаватель обязательно должен быть хоть немного знаком с неевклидовой геометрией-, ведь она принадлежит настоящее время к тем немногим частям математики, которые стали известны в широких кругах, по крайней мере, в форме отдельных характерных словечек; поэтому каждого учителя могут в любую минуту спросить о ней. В физике имеется несравнимо больше подобных вещей (к ним принадлежит почти каждое новое крупное открытие), о которых всюду говорят и с которыми поэтому должен быть знаком, разумеется, каждый преподаватель. Представьте себе, скажем, учителя физики, который не в состоянии ничего сказать о рентгеновских лучах или о радии; не произвел бы значительно лучшего впечатления и тот математик, который не мог бы ничего ответить на вопросы о неевклидовой геометрии,

3. В противовес этому я хотел бы настойчиво отсоветовать введение неевклидовой геометрии в регулярное школьное преподавание (т. е. помимо случайных замечаний, вызываемых вопросами интересующихся учеников), что постоянно рекомендуют энтузиасты. Мы будем довольны, если всегда будет выполнено только предыдущее требование и если, с другой стороны, учащиеся действительно научатся понимать евклидову геометрию. В конце концов, если учитель знает чуточку больше, чем средний ученик, то это ведь вполне в порядке вещей.

Теперь я сообщу еще вкратце о дальнейшем развитии современной науки, вызванном неевклидовой геометрией.

Исходным пунктом послужил здесь преимущественно тот ее результат, согласно которому евклидова аксиома параллельности логически независима от предшествующих ей аксиом геометрии (с. 273); это побудило предпринять исследование также и других геометрических аксиом в смысле их взаимной логической зависимости или независимости. Так возникла современная геометрическая аксиоматика, следующая в своих изысканиях в точности тем путям, которые были намечены предыдущими исследованиями: стараются установить, какие части геометрии можно построить без применения части аксиом, а также можно ли, заменяя одну какую-нибудь определенную аксиому ей противоположной, прийти к логически непротиворечивой системе — к одной из так называемых псевдогеометрий.

В качестве самого важного из относящихся сюда исследований я должен назвать вам книгу «Основания геометрии» Гильберта, главная цель которой, в отличие от прежних исследований, заключается в том, чтобы установить указанным только что образом значение аксиом непрерывности для геометрии. Чтобы достигнуть этой цели необходимо, конечно, прежде всего так упорядочить систему аксиом геометрии, чтобы теоремы непрерывности приходились на самый конец, тогда как до сих пор мы всегда помещали их в начале. Подобно этому при построении неевклидовой геометрии мы не могли, например, воспользоваться таким порядком аксиом, при котором понятие параллелей выдвигается на первое место, но должны были прежде всего создать такую систему аксиом, в большей части которой ничего не говорится о параллельных прямых и в которой аксиома параллельности появляется лишь после этого.

Если не считать указанного этим существенного отклонения, то система аксиом Гильберта примыкает по существу к тому же ходу построения элементарной геометрии, которому мы тоже следовали при нашем втором построении геометрии.

На этой основе Гильберт исследует, как далеко может быть продвинуто построение геометрии, если не пользоваться аксиомами непрерывности; этим самым он охватывает одновременно те «псевдогеометрии», в которых имеют силу все прочие геометрические аксиомы, кроме аксиом непрерывности; последние по существу соответствуют тем фактам, которые относятся ко взаимно однозначному соответствию точек прямой с обыкновенными действительными числами (их абсциссами). Я не могу, конечно, входить здесь в рассмотрение ни хода мыслей в исследованиях Гильберта, ни полученных им при этом интересных результатов относительно логической связи определенных геометрических теорем и аксиом. Желательно, чтобы вы сами прочитали обо всем этом у Гильберта, руководясь этими немногими ориентирующими замечаниями. Напомню еще только, что упомянутая уже при случае в первом томе этих лекций гильбертова неархимедова геометрия принадлежит этому же кругу вопросов; это как раз такая псевдогеометрия, в которой не выполняется именно аксиома непрерывности, носившая раньше имя Архимеда, а теперь чаще имя Евдокса, т. е. геометрия, в которой абсциссы двух различных точек могут в известных случаях различаться только на «актуально бесконечно малую величину», никакое конечное кратное которой не равно обыкновенному конечному действительному числу.

Мне не хотелось бы обрывать эти краткие замечания о современной аксиоматике, не сказав еще. несколько слов об истинной природе геометрических аксиом и принципов, переходя, конечно, при этом от строго математической постановки вопроса к философско-гносеологической.

Одно соображение я уже подчеркивал, и относительно этого теперь все согласны, а именно, то, что здесь речь идет о первоначальных основных понятиях и предложениях, которые следует непременно предпослать геометрии, чтобы вообще иметь возможность проводить на их основе чисто логическим путем математические доказательства. Но такая установка не дает еще ответа на вопрос о том, откуда же собственно происходят эти первоначальные понятия и предложения. Прежняя точка зрения заключалась в том, что они непосредственно даны в интуиции каждого человека и обладают столь очевидной простотой, что никто не может в них сомневаться. Однако такой взгляд был в сильной степени поколеблен открытием неевклидовой геометрии, ибо этим было как раз показано, что пространственная интуиция и логика никоим образом не приводят к евклидовой аксиоме параллельности как к чему-то обязательному, но что, принимая противоречащее ей допущение, приходим тоже к геометрической системе, логически замкнутой в себе и достаточно точно изображающей реальные (фактические) отношения. Но, несомненно, все же остается возможность рассматривать эту аксиому параллельности как такое допущение, которое позволяет самым простым способом изображать реальные пространственные отношения. Это приводит к такому общему положению: основные понятия и аксиомы являются не просто фактами интуиции, но целесообразно подобранными идеализациями этих фактов. Уже резко очерченное понятие точки не существует в непосредственном чувственном созерцании (интуиции), но является лишь воображаемым пределом, к которому мы можем приближаться с нашими представлениями о маленькой части пространства, никогда, однако, его не достигая.

В противоположность этому среди людей, интересующихся только логической стороной вопроса, а не интуитивной или общегносеологической, в последнее время часто встречается мнение о том, что аксиомы являются лишь произвольными предложениями, которые мы устанавливаем, руководствуясь исключительно своими желаниями, а основные первоначальные понятия в конечном счете являются лишь произвольными знаками (символами) для обозначения вещей, с которыми мы желаем оперировать.

В таком взгляде заключается, конечно, та доля истины, что в пределах чистой логики не находится никакого основания для этих предложений и понятий и что поэтому они должны быть заданы заранее либо получить побуждение к созданию со стороны как раз именно благодаря воздействию интуиции. Но авторы часто выражаются гораздо более односторонне, и, таким образом, в последние годы в связи с современной аксиоматикой мы не раз снова наталкивались как раз на то направление в философии, которое с давних пор получило название номинализма. Здесь интерес к самим вещам и к их свойствам совершенно утрачивается; говорят только о том, как их называют и по каким логическим схемам оперируют с этими именами (названиями). Например, говорят так: «точкой называем совокупность трех координат, ничего себе при этом не представляя», и условливаемся «произвольно» относительно первоначальных предложений (аксиом), которые должны иметь силу по отношению к этим точкам; при этом мы можем совершенно неограниченно устанавливать любые аксиомы, если только удовлетворяем законам логики и прежде всего следим за тем, чтобы в возводимом из теорем здании не оказывалось низких противоречий. Я лично никоим образом не разделяю этой точки зрения и считаю ее смертельной для всей науки; аксиомы геометрии представляют собой, по моему мнению, не произвольные, а разумные суждения, вызванные, в общем, пространственным созерцанием и регулируемые в деталях соображениями целесообразности.

Этим философским экскурсам, повод к которым несколько раз представлялся нам в последнем разделе, я хотел бы противопоставить теперь разъяснения, относящиеся к истории геометрии, в частности к развитию взглядов на ее основания. В этом отношении с самого начала приходится отметить большое различие по сравнению с подобными соображениями, которые мы часто излагали в последнюю зиму для областей алгебры, арифметики и анализа.

История этих дисциплин в их современном виде на считывает, собственно говоря, лишь несколько столетий; они начинаются вместе с действиями над десятичными дробями и с буквенным исчислением, т. е. примерно с 1500 г.

В противоположность этому история геометрии как самостоятельной дисциплины восходит далеко в глубь греческой древности, а именно, геометрия уже в то время достигла столь высокого уровня развития, что долгое время, вплоть до наших дней, в греческой геометрии видели образец совершенной науки.

При этом в качестве суммарного изложения греческой геометрии всегда рассматривался самый значительный дошедший до нас систематический курс — знаменитые «Начала», или «Элементы» (crroixeia). Евклида; вряд ли существует другая книга, которая так долго удерживала бы подобное положение в своей науке. И теперь еще всякий математик должен считаться с Евклидом, и мы посвятим поэтому ему последний раздел этой главы.