Аксиома параллельности и теория параллелей; неевклидова геометрия.

5) При этом оказывается необходимым ввести еще одну особенно важную аксиому, относящуюся к теории параллелей. При нашем первом обосновании параллельность была одним из первых основных понятий, которое сразу же возникло при рассмотрении параллельных переносов: мы называли прямые линии параллельными, если они являлись траекториями (различных точек) при одном и том же параллельном переносе. Совершенно иначе обстоит дело здесь; среди до сих пор введенных основных понятий параллельность не встречалась, поэтому нам приходится теперь поговорить о ней в отдельности.

А именно, имея прямую g (рис. 122) и точку О вне g, соединяем О с точкой Р, лежащей на g, и отодвигаем Р в положения Р, и все дальше и дальше на g (иными словами, мы представляем себе последовательность точек или соответственно последовательность прямых о движении же в прежнем смысле здесь не говорится). Прямая ОР при этом вращении вокруг О, достигнет некоторого предельного положения, когда Рудалится в бесконечность, и эту предельную прямую мы и называем параллельной к g, проходящей через О. При этом нет никакой априорной необходимости в том, чтобы прямая ОР приближалась к одному и тому же предельному положению при удалении Р в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через О параллельно прямой

Поэтому для нашего теперешнего построения вводится новая аксиома: мы постулируем в согласии с нашей привычной интуицией, что эти два предельных положения всегда должны совпадать, иначе говоря, что через точку О должна проходить только одна прямая, параллельная прямой g. Это и есть та знаменитая аксиома параллельности, которая в течение ряда столетий вызывала столько споров; ее называют также евклидовой аксиомой, так как у Евклида она четко сформулирована в виде постулата.

Прежде всего я должен сообщить вам кое-что, касающееся истории этой аксиомы. В течение долгого времени делались величайшие усилия, направленные к нахождению доказательства этой аксиомы (т. е. к выводу ее из предшествующих ей геометрических аксиом) и, конечно, всегда безуспешные. Эти усилия не прекратились и по сей день, и это вполне естественно: наука может прогрессировать как угодно далеко, и все же всегда найдутся люди, которые полагают, что они лучше понимают дело, и игнорируют результаты надежного точного исследования.

В действительности математика давно уже перешла от тех тщетных попыток к плодотворным новым исследованиям и положительным результатам.

Уже в XVIII столетии возникает характерная новая, более широкая постановка вопроса: не является ли возможным построить логически последовательную, свободную от внутренних противоречий систему геометрии, которая воздерживалась бы от этой аксиомы параллелей и допускала бы существование двух различных предельных прямых в вышеуказанном смысле, т. е. двух различных параллелей к g, проходящих через О?

В начале XIX столетия математика оказалась в состоянии дать утвердительный ответ на этот вопрос; Гаусс первый открыл существование неевклидовой геометрии — так мы называем вместе с ним геометрическую систему указанного рода. Из литературного наследия Гаусса явствует, что он, несомненно, уже в 1816 г. имел точное представление о ней, но относящиеся сюда заметки были найдены лишь много позже и напечатаны в 1900 г. в восьмом томе «Собрания произведений Гаусса».

Сам Гаусс ничего не опубликовал, кроме немногих случайных высказываний, об этом своем великом открытии. Независимо от него неевклидову геометрию построил около 1818 г. юрист Швейкарт, назвавший ее астральной (т. е. звездной) геометрией. Он тоже не опубликовал своих исследований. Впервые о них узнали кое-что из одного письма, написанного Гауссу и найденного среди бумаг последнего. Первые опубликованные работы по неевклидовой геометрии написали русский геометр Н. И. Лобачевский (1829) и венгр Бояи младший (1832), которые оба нашли эти результаты независимо один от другого и обладали ими, насколько можно судить по имеющимся материалам, уже в 1826 г. и соответственно в 1823 г. В течение протекшего столетия эти вещи благодаря многим работам стали общим достоянием математиков, и в наши дни всякому образованному человеку приходилось слышать что-нибудь о существовании неевклидовой геометрии, хотя только специалист может достичь ясного ее понимания.

Существенно новое направление дал этим вопросам Риман в начале второй половины XIX столетия в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. для получения права Преподавания в университете. Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным.

Но что получится, если всё же отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере? Здесь речь идет о различии между бесконечностью и безграничностью пространства, это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, тогда как другая имеет конечное протяжение.

Риман действительно считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены, как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку Р перемещаться по прямой g все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч ОР вообще не будет иметь никакого предельного положения: не существует вовсе прямой, проходящей через О параллельно прямой g. Таким образом, у Римана мы встречаемся со вторым видом неевклидовой геометрии в противоположность неевклидовой геометрии Гаусса, Бояи и Лобачевского («НГ ).

На первый взгляд это кажется парадоксальным, но математик сразу подмечает здесь аналогию с обыкновенной теорией квадратных уравнений, что указывает на путь к пониманию этих вещей. А именно, квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо не имеет ни одного такого корня (но имеет зато два мнимых корня), либо, наконец, в качестве переходного случая имеет один двойной действительный корень. Это вполне аналогично двум различным действительным параллелям отсутствию действительных параллелей в НГП и, наконец, переходному (или прбмежуточному) случаю одной параллели в евклидовой геомметрии.