Площадь прямолинейных многоугольников.

Доказанную формулу мы можем сейчас же обобщить так, чтобы она давала площадь произвольных многоугольников. Для наглядности рассмотрим такую геодезическую задачу: требуется определить площадь участка земли с прямолинейными сторонами, зная на основании измерений координаты его последовательных вершин (рис. 11).

Рис. 11

Кто не привык оперировать со знаками при площадях, тот должен сделать набросок многоугольника по этим данным, разложить его, например, диагоналями на треугольники, а затем в зависимости от его особого вида — в особенности от того, какие именно внутренние углы являются невыпуклыми (т. е. содержащими более 180°), — определить искомую площадь как сумму или разность площадей отдельных треугольников. Мы же можем сразу написать общую формулу, которая совершенно автоматически даст правильный результат, не требуя никакого чертежа. Если О — какая-либо точка плоскости, например начало координат, то площадь нашего многоугольника при обходе его вершин в последовательности равна

где треугольники следует брать со знаками, определяемыми указанным направлением обхода.

Эта формула дает положительную или отрицательную площадь в зависимости от того, движемся ли мы, обходя многоугольник в порядке , против часовой стрелки или по часовой стрелке. Мы ограничимся указанием на эту формулу, а доказательство вы можете провести сами.

Я охотнее остановлюсь еще на нескольких особенно интересных случаях, которые, конечно, не могут иметь места при измерениях на местности, а именно, на самопересекающихся многоугольниках, как, например, четырехугольник на рис. 12. Если вообще мы хотим говорить здесь об определенной площади, то это может быть только то ее значение, которое дает наша формула; мы должны лишь уяснить себе геометрический смысл этого значения. Прежде всего, легко убедиться в том, что это значение не зависит от положения точки О.

Рис. 12

Поэтому, если поместить точку О по возможности удобнее, а именно в ту точку, где стороны четырехугольника пересекают одна другую, то площади треугольников станут нулями, и останется

здесь первый треугольник имеет отрицательную, второй — положительную площадь. Следовательно, площадь нашего четырехугольника при направлении обхода равна абсолютной величине площади его части , обходимой против часовой стрелки, без абсолютной величины части , обходимой по часовой стрелке.

Рис. 13

В качестве второго примера рассмотрим изображенный здесь звездчатый пятиугольник (рис. 13). Если поместить точку О в средней части, то в сумме

все отдельные треугольники получают положительный обход; их сумма дважды покрывает площадь внутреннего пятиугольного ядра, а каждый из пяти уголков (хвостов) по одному разу. Если снова обратимся к однократному обходу многоугольника (1, 2, 3, 4, 5, 1), то увидим, что каждую часть приходится обходить против часовой стрелки, а именно, те части, которые при определении площади считаются дважды, обходим дважды, а те, которые считаются по одному разу, обходим также один раз.

Изучение этих двух примеров приводит нас к следующему общему правилу: для каокдого прямолинейного самопересекающегося многоугольника наша формула дает в качестве площади алгебраическую сумму площадей отдельных частей, ограничиваемых контуром многоугольника, причем каждую часть следует считать столько раз, сколько раз мы описываем ее при однократном обходе периметра многоугольника , а именно, каждый раз со знаком плюс или минус в зависимости от того, происходит ли обход ее против часовой стрелки или по часовой стрелке.

Желательно, чтобы вы сами дали общее доказательство справедливости этого правила; при этом вы не встретите никаких затруднений. Тем более рекомендую я вам вполне усвоить на отдельных примерах эти интересные формулы для площадей.