Свободный линейный элемент и свободный плоскостной элемент («полярный» и «аксиальный» векторы).

Теперь нам незачем больше заботиться о второй строке нашей таблички остается еще сравнить первую и третью строки, т. е. свободный вектор и свободный плоскостной элемент. Здесь мы видим прежде всего, что при параллельных переносах и поворотах оба они ведут себя совершенно одинаково; однако при зеркальном отражении и изменении масштаба обнаруживается их различие. Чтобы проследйть за этим в деталях, представим себе в привычной для нас (правой) системе координат некоторый ллоскостной элемент и свяжем с ним свободный вектор равенствами

Хотя эти равенства сохраняются, если ограничиваться собственными движениями системы координат, но при зеркальных отражениях или при изменениях масштаба они испытывают изменения.

Поэтому, если мы захотим выразить их геометрически, то не сможем обойтись без использования как ориентации системы координат (левая, правая), так и масштаба. В самом деле, фиксируя опять, как и раньше, систему координат так, что а равно площади параллелограмма на плоскости получаем для нашей фигуры (рис. 42), что , а вектор имеет положительное направление оси .

Рис. 42

Этот факт можно, очевидно, высказать в такой не зависящей от специального положения системы координат форме: для получения в правой системе координат свободного вектора, имеющего координаты, равные координатам заданного свободного плоскостного элемента, следует восставить к его плоскости перпендикуляр в ту сторону, откуда обход изображающего его параллелограмма представляется направленным против часовой стрелки, и отложить на нем отрезок, равный площади этого параллелограмма. Совпадение координат этого вектора и плоскостного элемента сохраняется при любых параллельных переносах и поворотах системы координат; однако оно нарушается, как только произведено изменение масштаба или зеркальное отражение. Если заменить измерения в сантиметрах измерениями в дециметрах, то мера площади перейдет в ее сотую часть, а мера отложенного в качестве вектора отрезка — только в его десятую часть; точно так же при симметрии системы координат относительно начала будут менять знак координаты вектора, но не плоскостного элемента.

Итак, свободный плоскостной элемент и свободный вектор можно вполне отождествлять между собою только тогда, когда раз навсегда установлены определенная ориентация системы координат (правая, левая) и определенная единица длины.

Конечно, такое ограничение не возбраняется до пустить каждому человеку в его практике. Он должен только всегда сознавать его произвольность, чтобы по отношению к другому человеку иметь возможность понимать друг друга. Все эти вещи, как вы видите, оказываются чрезвычайно ясными и простыми но все же к ним каждый раз приходится возвращаться, ибо в современной физике историческое развитие оставило во многих случаях некоторую запутанность. Поэтому я скажу еще несколько слов об истории этих вещей.

Грассманова «Теория протяжения», вышедшая в 1844 г., оказала очень незначительное влияние на нашу физику и механику по причине трудно читаемого изложения. Несравненно больший успех имели в Англии идеи, которые около этого же времени стал разрабатывать в Дублине Гамильтон — изобретатель кватернионов, о которых я подробно говорил в своем зимнем курсе. Здесь мне остается только упомянуть, что ему принадлежит также слово вектор для обозначения того, что мы назвали свободным вектором-, понятием же скользящего вектора он не пользуется в явном виде. Далее, он не видит разницы между свободным плоскостным элементом и свободным вектором, так как он считает заранее фиксированными определенную ориентацию и масштаб для координат. Эта точка зрения привилась в физике, и там долгое время не различали векторов в собственном смысле слова и плоскостных элементов.

Конечно, при более тонких исследованиях постепенно все же пришли к необходимости проводить различение между объектами, для которых используется одинаковое название «вектор», в зависимости от их поведения при зеркальных отражениях и для этого стали пользоваться прилагательными полярный и аксиальный. Полярный вектор меняет свой знак при зеркальных отражениях, следовательно, является вполне тождественным с нашим свободным вектором-, аксиальный же вектор знака не меняет, следовательно, совпадает с нашим свободным плоскостным элементом (причем мы не обращаем внимания на «размерность»).

Таким образом, здесь физика должна была (как это еще до сих пор делается в обычных изложениях) констатировать задним числом это неожиданное для нее различение, между тем как при нашей общей постановке вопроса оно совершенно естественным путем получается с самого начала. Я приведу один пример для иллюстрации сказанного. Утверждение, что электрическая напряженность есть полярный вектор, означает, что она задается тремя компонентами X, Y, Z, которые преобразуются согласно первой строке нашей таблички (с. 71); говоря же, что магнитная напряженность поля есть аксиальный вектор, мы утверждаем, что три ее компоненты преобразуются по схеме последней строки этой таблички. При этом я оставляю открытым вопрос о том, как обстоит с размерностью этих величин, ибо это завело бы нас слишком далеко в глубь физических подробностей.