Новейшие требования повышенной строгости.
Существенно более, чем эти и родственные им книги, уклоняются от евклидова изложения учебники другой группы, а именно, уклоняются в том отношении, что они стремятся достичь значительно более высокой степени строгости в понимании основ.
Авторы их полагают, что у Евклида и в названных выше учебниках многочисленные геометрические основные понятия определены недостаточно строго, и хотят вместо этого обойтись одним лишь единственным основным понятием, а именно — понятием точки, из которого все другие необходимые геометрии образы должны быть построены чисто логическим путем.
В частности, следует решительно избегать при обосновании геометрии также пользования понятием движения твердого тела.
Кульминационный пункт этого развития представляют, пожалуй, различные учебники Дж. Веронезе, охватывающие всю область геометрии. В данном случае нам не приходится рассматривать его «Основания геометрии многих измерений и многих видов прямолинейных единиц, представленные в элементарной форме», так как это не школьный курс, а проведенное в абстрактной форме исследование чисто научной проблемы общей многомерной и «неархимедовой» геометрии. Здесь же нас интересуют его же учебники «Элементарные сведения по наглядной геометрии» и «Начала геометрии». Первая книга является индуктивным введением, которое должно в наглядной форме ознакомить учащихся низшей ступени с различными геометрическими формами, что соответствует примерно нашему пропедевтическому начальному курсу геометрии. Дело в том, что, согласно всем итальянским учебным планам, систематическое преподавание геометрии в собственном смысле начинается там лишь очень поздно; поэтому не следует думать, что все эти точные учебники предназначены для ребят в возрасте наших третьеклассников!
«Начала» Веронезе содержат теоретическое построение геометрии, причем устанавливаются с чрезвычайной полнотой все постулаты, какими бы очевидными они нам ни представлялись.
Так, например, в качестве первого постулата явно устанавливается положение «существуют различные точки», — таким образом, мы не рассматриваем, скажем, геометрию, в которой существует только одна точка! Впрочем, при этом всегда хотя бы вкратце упоминается и эмпирическое наблюдение, которое руководит в качестве эвристического принципа при введении аксиом. Что касается деталей, то Веронезе пользуется прямолинейным отрезком как основным геометрическим образом, который он определяет как систему точек, удовлетворяющую определенным требованиям. Конгруэнтность таких отрезков вводится в качестве основного понятия, и к нему весьма оригинальным образом сводится все прочее. Так, два треугольника называются конгруэнтными, если все их стороны попарно конгруэнтны, чем определяется также и конгруэнтность углов, так что здесь 3-я теорема о конгруэнтности вводится ранее всего (в качестве определения!); аналогично, с помощью конгруэнтности отрезков, строится даже и учение о параллельных линиях: две прямые называются параллельными, если у них имеется центр симметрии, т. е. если они отсекают на всех прямых, проходящих через некоторую точку, попарно равные отрезки. С другой стороны, Веронезе тоже строго придерживается евклидовых рамок в отношении выбора материала-, в частности, он, конечно, избегает всякого использования арифметики. С этой книгой Веронезе родственны по содержанию «Элементы геометрии» Ф. Энриквеса и У. Амальди, но только они наряду со строгой систематикой в значительно более высокой степени подчеркивают также и педагогические моменты.
