Простейшие применения, в частности, двойное отношение.

Разрешите мне начать с одного очень примитивного примера, а именно с «простого отношения» трех точек на одной прямой, например на оси х.

Если обозначить эти три точки через 1,2 и. 4 (рис. 5), что является для последующего наиболее удобным, то их «простое отношение» дается формулой

Это отношение оказывается, очевидно, положительным или отрицательным в зависимости от того, лежит ли точка 1 вне или внутри отрезка (2,4).

Если же известно, как это обыкновенно бывает при элементарном изложении, лишь абсолютное значение

то нужно дополнительно либо дать еще чертеж, либо пояснить словами, имеют ли в виду внутреннюю или внешнюю точку, а это, конечно, вносит значительное усложнение. Таким образом, введение знака длины отрезка учитывает различные возможные случаи расположения точек на прямой — обстоятельство, которое нам придется еще часто отмечать в наших лекциях.

Присоединяя четвертую точку 3, мы можем составить так называемое двойное (или ангармоническое) отношение четырех точек 7)

Это выражение также имеет определенный знак, а именно, как непосредственно видно, если пары точек 1, 3 и 2, 4 разделяют одна другую, и в противоположном случае, т. е. когда обе точки 1 и 3 одновременно лежат вне или внутри отрезка 2, 4 (рис. 6, 7). Таким образом, снова полу-: чаем каждый раз два существенно различных расположения, дающих для D одно и то же абсолютное значение.

Рис. 6

Рис. 7

Задавая лишь последнее, мы должны еще каждый раз отчетливо указать, как именно расположены четыре точки; если, например, определяют «гармонические точки» равенством , как все еще, к сожалению, чаще всего поступают в школе, то к этому определению неизбежно приходится прибавлять требование о раздельном положении обеих пар точек, тогда как нам достаточно одного лишь требования

Особенно полезным оказывается считаться со знаком в проективной геометрии, где, как известно, двойное отношение играет основную роль.

Известное предложение проективной геометрии гласит: четыре точки одной прямой имеют такое же двойное отношение, как и четыре точки любой другой прямой, получаемые из первых проектированием их из произвольного центра (перспектива) (рис. 8).

Если рассматривать двойное отношение как относительную величину, имеющую определенный знак, то имеет место также следующая обратная теорема, не допускающая исключений:

Две четверки точек на двух прямых, имеющие равные двойные отношения D, всегда могут быть получены одна из другой путем однократного или повторного перспективного преобразования.

Так, например, на рис. 8 четверки 1, 2, 3, 4 и получаются одна из другой последовательным проектированием из центров и . Если же известно только абсолютное значение двойного отношения D, то соответствующая теорема перестает быть справедливой в столь простой форме; в этом случае нужно еще прибавить дополнительное предположение, касающееся взаимного расположения точек.

Рис. 8

Рис. 9

Еще более плодотворным оказываются применения нашей формулы, дающей площадь треугольника. Возьмем прежде всего где-либо внутри треугольника точку О и соединим ее с вершинами (рис. 9). Рассматривая площади полученных треугольников как абсолютные величины, находим, что их сумма равна площади исходного треугольника:

На нашем рисунке вершины, взятые в указанном здесь порядке, в каждом треугольнике следуют одна за другой против часовой стрелки, так что площади треугольников получают, согласно нашему общему определению, знак плюс.

Поэтому мы можем нашу формулу написать еще и таким образом:

Теперь я утверждаю, что эта формула имеет место и в том случае, когда точка О лежит вне треугольника, и вообще, когда 0, 1, 2, 3 — четыре произвольные точки на плоскости. Например, при расположении точек, указанном на рис. 10, обход треугольников происходит против часовой стрелки, а треугольника часовой стрелке, так что наша формула дает для абсолютных величин площадей равенство

в справедливости которого легко убедиться из рисунка.

Рис. 10

Мы докажем наше утверждение в общем виде, исходя из аналитического определения, причем в нашей формуле мы узнаем некоторое предложение, известное из алгебры, а именно, из теории определителей. Ради большего удобства примем за точку О начало координат - что, очевидно, не вносит существенного нарушения общности - и заменим площади четырех треугольников соответствующими детерминантами; тогда, опуская всюду множитель мы должны будем доказать, что для произвольных значений имеет место соотношение

Величина каждого из определителей справа не изменится, если второй и третий элементы последнего столбца (т. е. единицы) заменить нулями, ибо эти элементы при разложении по элементам первой строки входят лишь в те два минора, которые умножаются на нуль;

если, кроме того, в двух последних определителях мы произведем циклическую перестановку строк (что допустимо в определителях третьего и вообще нечетного порядка), то можем наще равенство записать таким образом:

Но это тождество: справа имеем попросту алгебраические дополнения последнего столбца левого определителя, так что перед нами известное разложение этого определителя по элементам одного из его столбцов. Этим наше предложение сразу доказано для всех возможных случаев расположения четырех точек.