III. ГРАССМАНОВ ПРИНЦИП ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА

Линейный и плоскостной элементы.

Соответствующие исследования, относящиеся к пространству, мы проведем вполне аналогично предыдущим рассуждениям. Таким образом, исходным пунктом будут служить матрицы, составленные из координат одной, двух, трех или четырех точек:

Определителями первой матрицы являются координаты точки; они не требуют дальнейших исследований. Четвертая матрица уже сама является определителем четвертого порядка и дает, как известно, ушестеренный объем тетраэдра (1, 2, 3, 4), который можно, в соответствии с вводимыми в дальнейшем терминами, назвать пространственным элементом.

Впрочем, этот определитель можно также рассматривать просто как объем параллелепипеда с ребрами 4 1, 4 2, 4 3 (рис. 33), для которого Грассман ввел - название «шпат» (термин, заимствованный из минералогии).

Новые образы получаются из второй и третьей матриц. Вторая (двустрочная) матрица позволяет получить совокупность следующих шести определителей второго порядка, которые мы получаем, вычеркивая каждый раз по два столбца:

точно так же третья (трехстрочная) матрица дает нам следующие четыре определителя третьего порядка:

Что касается, прежде всего, шести определителей (1), то из соответствующих разъяснений, относящихся к плоскости, можно легко заключить, что X, Y, Z являются проекциями на координатные оси отрезка, идущего от точки 2 к 1, a L, М, N — удвоенными площадями проекций треугольника с направлением обхода О, 1, 2 на координатные плоскости (рис. 34).

Рис. 33

Рис. 34

Все эти величины остаются, очевидно, неизменными, если отрезок (1,2) передвигать вдоль содержащей его прямой, сохраняя его длину и направление; следовательно, они представляют собой то, что мы будем называть линейным элементом или скользящим вектором в пространстве. Первые три величины X, Y, Z остаются неизменными также и при параллельном переносе этого вектора в сторону от содержащей его прямой; следовательно, взятые сами по себе они определяют свободный вектор.

Подобно этому пять отношений остаются неизменными как при произвольном изменении длины, так и при изменении на обратное направления этого линейного элемента на фиксированной прямой; следовательно, они определяют неограниченную прямую.

Четыре определителя (2) определяют прежде всего плоскость, проходящую через три точки 1, 2, 3, ибо ее уравнение

можно, очевидно, записать так:

так что уже одни только отношения фиксируют некоторую неограниченную плоскость. Далее мы сразу же замечаем, что равны удвоенным площадям проекций треугольника (1, 2, 3) на координатные плоскости, если брать его каждый раз с направлением обхода 1, 2, 3, а равно шестикратному объему тетраэдра , тоже взятому со знаком, соответствующим этой последовательности вершин. Эти четыре величины остаются, очевидно, неизменными в том и только в том случае, если треугольник (1, 2, 3) передвигать по его плоскости и так его при этом деформировать, чтобы его площадь и направление обхода оставались неизменными. Следовательно, они определяют треугольник или вообще часть плоскости, имеющую именно такую подвижность, — то, что Грассман называет «плоскостным элементом». Первые три координаты плоскостного элемента остаются без изменения также и при сдвиге плоскости треугольника параллельно ей самой; следовательно, они определяют площадь и направление обхода треугольника, который может свободно перемещаться в пространстве параллельно самому себе, — так называемый свободный плоскостной элемент.

Желая заняться линейным элементом ближе, мы должны прежде всего обратить внимание на то, что в пространстве он определяется пятью свободно изменяемыми параметрами, ибо хотя оба его конца имеют вместе взятые шесть координат, но один конец может произвольно передвигаться вдоль некоторой прямой. Следовательно, определенные нами выше шесть координат X, Y, Z, L, М, N линейного элемента не могут быть независимыми величинами, а должны удовлетворять некоторому условию. Это последнее можно проще всего вывести из учения об определителях, которое вообще служит всегда ключом к нашим теориям. Рассматриваем определитель

который, конечно, тождественно равен нулю, ибо элементы двух его строк попарно совпадают. Разложим его на сумму произведений из соответственных миноров первой и последней пары строк: первое слагаемое содержит оба минора, обведенные пунктиром, следовательно, оно сводится к ; по аналогии с этим для всего определителя получаем значение Поэтому имеет место тождество

в качестве необходимого условия для шести координат всякого линейного элемента; нетрудно убедиться в том, что наличие соотношения (3) между какими-нибудь шестью величинами является также и достаточным условием для того, чтобы их можно было представить посредством формул (1) в качестве координат некоторого линейного элемента. Конечно, я не стану здесь останавливаться на этом совершенно элементарном доказательстве.