СИСТЕМАТИКА И ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ

I. СИСТЕМАТИКА

Изученные нами геометрические преобразования мы прежде всего используем для установления систематического подразделения всей области геометрии, которое позволит нам обозреть с одной точки зрения как отдельные части геометрии, так и их взаимные связи.

1. Обзор классификации геометрических дисциплин

Здесь речь идет о тех идеях, которые я систематически развил в моей «Эрлангенской программе» 1872 г.

1) В дальнейшем, как и до сих пор, мы будем систематически пользоваться анализом при исследовании геометрических отношений, представляя себе совокупность всех точек пространства изображенною при помощи совокупности всех числовых троек — значений трех «координат» . При таком изображении каждому преобразованию пространства соответствует определенное преобразование этих координат. С самого начала наше внимание особенно привлекли следующие четыре вида преобразований, изображаемых некоторыми специальными линейными подстановками координат : параллельные переносы, повороты около начала координат О, зеркальное отражение относительно этой же точки О и гомотетии с центром О.

2) Введение координат могло бы, пожалуй, заставить думать о существовании полного тождества между анализом трех независимых переменных и геометрией в узком смысле слова. Но в действительности это не так.

Дело в том, что геометрия занимается, как это я уже раньше имел случай отметить (см. с. 42—44), только такими соотношениями между координатами, которые остаются неизменными при перечисленных в п. 1) линейных подстановках — будем ли рассматривать последние как изменения системы координат или как преобразования пространства; геометрия является, таким образом, теорией инвариантов упомянутых линейных подстановок. Все же соотношения между координатами, не имеющие инвариантного характера, — как, например, утверждение о том, что некоторая точка имеет координаты 2, 5, 3, — связаны с определенной раз навсегда фиксированной системой координат, и принадлежат к науке, которая должна индивидуализировать каждую точку саму по себе и рассматривать изолированно ее свойства: к топографии или, если угодно, к географии. Для пояснения я напомню несколько примеров геометрических свойств. Так, мы говорим, что две точки имеют определенное (взаимное) расстояние, если только фиксирована некоторая единица (длины); с нашей теперешней точки зрения это означает, что с помощью их координат можно составить выражение которое либо остается неизменным при всех указанных подстановках, либо только умножается на некоторый множитель, не зависящий от специального положения взятых точек. Подобный же смысл имеют фразы: «две прямые образуют определенный угол», «некоторое коническое сечение имеет определенные главные оси и фокусы» и т. д.

Для совокупности этих геометрических свойств мы будем употреблять название «метрическая геометрия», чтобы сразу же отличить от нее различные другие «виды геометрий». Мы получим их, выделяя по определенному принципу известные группы теорем метрической геометрии и рассматривая их сами по себе; вследствие этого все эти новые виды геометрий являются, по крайней мере на первый взгляд, частями метрической геометрии как наиболее объемлющего «вида геометрии».

3) За исходный пункт мы берем подробно изученные раньше аффинные преобразования, т. е. целые линейные подстановки переменных :

в число которых входят преобразования, рассмотренные в п. 1), как частные случаи, и выделяем из числа всех геометрических понятий и теорем более узкий круг тех понятий и теорем, которые остаются неизменными при любых аффинных преобразованиях; совокупность их мы рассматриваем как первый новый вид геометрии — как так называемую аффинную геометрию, или теорию инвариантов аффинных преобразований.

Поэтому мы можем из нашего знания аффинных преобразований тотчас же вывести понятия и теоремы этой геометрии; я упомяну здесь лишь немногое: о расстояниях и углах в аффинной геометрии не может быть более и речи; точно так же теряет смысл понятие главных осей конического сечения, исчезает различие между окружностью и эллипсом. Но зато в пространстве сохраняется различение конечного и бесконечно далекого и вообще сохраняется все, что связано с этим различением: понятие параллелизма двух прямых, подразделение всех конических сечений на эллипсы, гиперболы, параболы и т. п., далее понятия о центре и диаметрах конического сечения и, в частности, отношение сопряженности диаметров.

4) Далее, мы обращаемся к проективным, т. е. дробно-линейным, преобразованиям

которые включают аффинные преобразования как частные случаи. Если известные геометрические свойства остаются без изменения при всех этих преобразованиях, то они должны, конечно, принадлежать также и к аффинной геометрии; этим из последней выделяется так называемая проективная геометрия как теория инвариантов проективных ареобразований.

Последовательное выделение аффинной и проективной геометрии из метрической можно сравнить с работой химика, который, применяя все более сильные средства разложения, выделяет из данного вещества все более ценные составные части; нашими средствами разложения являются сначала аффинные, а затем проективные преобразования.

Что же касается теорем проективной геометрии, то отметим лишь, что теперь отпадает исключительное положение бесконечного и все связанные с этим понятия аффинной геометрии. Теперь имеется только один вид собственного (нераспадающегося) конического сечения; зато сохраняется, например, связь между полюсом и полярою и точно так же образование конического сечения проективными пучками лучей, о котором мы говорили выше (с. 150-152).

Следуя тому же принципу, мы можем перейти от метрической геометрии также и к другим видам геометрий.

5) Одной из важнейших является геометрия обратных радиусов. Она охватывает совокупность тех свойств метрической геометрии, которые сохраняются при всех возможных преобразованиях при помощи обратных радиусов (с. 152); таким образом, в этой геометрии, например, понятие прямой или плоскости теряет всякое самостоятельное значение, но зато сохраняют смысл понятия окружности и сферы, по отношению к которым понятия прямой и плоскости занимают подчиненное положение в качестве частных случаев.

6) Наконец, я выделяю еще один вид геометрии, который получается как бы путем применения самой сильной протравы и охватывает поэтому наименьшее количество теорем. Это Analysis situs (топология), о котором я уже упоминал (с. 163-167). Здесь речь идет о совокупности тех свойств, которые сохраняются при всех взаимно однозначных взаимно непрерывных преобразованиях. А чтобы не предоставлять всему бесконечно удаленному, которое при определенных таким образом преобразованиях всегда переходило бы само в себя, исключительной роли, мы можем присоединить еще либо проективные преобразования, либо преобразования посредством обратных радиусов.