Пара сил и свободный плоскостной элемент как эквивалентные образы.
Это дает нам точную основу для ряда геометрических предложений, которые в учебниках часто или совсем отсутствуют, или упоминаются лишь мимоходом и притом в такой форме, что не так-то легко можно уловить их простой геометрический смысл. Между различными геометрическими образами, которые мы здесь рассматриваем, часто не проводят того четкого различения, которое мы считаем обязательным, и этим совершенно затушевывают целый ряд интересных соотношений. Так, например, уже у Пуансо понятия пары сил и свободного плоскостного элемента всегда бывают с самого начала неразрывно связаны между собой; разумеется, это неизбежно должно затруднять понимание;
мы же только из сравнения последних двух строк нашей таблички впервые получаем указание на то, что, согласно высказанному ранее общему принципу, пару сил и свободный плоскостной элемент следует рассматривать как основные геометрические понятия одного и тогоже рода, ибо они при всех изменениях прямоугольной системы координат ведут себя совершенно одинаково.
Разъясним точнее смысл последнего утверждения. Если, например, заданной паре сил L, М, N сопоставить некоторый плоскостной элемент при помощи равенств 
(или если сделать то же самое в обратном порядке, исходя из 
), то это равенство координат (пары и элемента) сохраняется при всяком преобразовании системы координат и поэтому должно допускать чисто геометрическое описание, не связанное ни с какой системой координат. Для того чтобы получить такое описание, будем исходить из плоскостного элемента 
причем ради максимального удобства фиксируем координатную систему так, чтобы было 
Тогда этот свободный плоскостной элемент представит собой такой треугольник (1, 2, 3), параллельный плоскости 
или, в частности, лежащий на ней, что 91 будет равно удвоенной его площади, т. е. площади параллелограмма 
, снабженной знаком, определяемым обходом 
(рис. 41).
Рис. 41
Так вот я утверждаю, что соответствующая этому элементу пара сил с моментами 
может быть составлена из двух противоположных сторон (1, 1') и (2, 3) этого параллелограмма с остриями стрелок в точках 1 и 2.
Для доказательства я выбираю систему координат на плоскости 
еще удобнее, а именно за ось у беру прямую 1, 1', ось 
провожу через точку 2 (на рис. 41 эти оси нанесены штриховыми линиями).
Тогда, прежде всего, оба линейных элемента (1, 1') и (2, 3), а поэтому и составленная из них пара сил имеет моменты вращения 
Далее, для линейного элемента (1, Г) третий момент также равен нулю, так что окончательно N оказывается равным моменту вращения для (2, 3):
ибо по условию 
. С другой стороны, при таком положении координатной системы третья координата плоскостного элемента равна
(т. е. равна произведению основания 
и высоты 
параллелограмма), и потому даже по знаку 
чем и доказано наше утверждение.
Этот результат можно сразу высказать в общем виде, не связывая его с какой-либо специальной системой координат: свободный плоскостной элемент, изображаемый параллелограммом с определенным направлением обхода, и пара сил, состоящая из двух противоположных сторон этого параллелограмма, направленных против его обхода, являются геометрически эквивалентными образами, т. е. они имеют по отношению ко всякой прямоугольной системе координат равные компоненты. Это предложение позволяет всегда заменять как пару сил параллелограммом, так и этот последний парой сил.
