Шопенгауэрова критика математики; замечания о доказательствах пифагоровой теоремы.

В связи со всем этим я хотел бы еще упомянуть о часто цитируемой, чрезвычайно резкой критике знаменитого философа Шопенгауэра, направленной против математики, так как эта критика необычайно характерна для враждебности по отношению к нашей науке со стороны натур, более предрасположенных к искусству. Шопенгауэр считает цепь отдельных логических выводов, которую должно содержать строгое математическое доказательство, недостаточной и невыносимой. Он хочет сразу, так сказать, с одного взгляда, интуитивно убеждаться в истинности теоремы; это привело его к теории, согласно которой наряду с логическими дедукциями, исходящими из определенных предпосылок, существует якобы еще другой метод математических доказательств, который выводит математическую истину непосредственно из интуиции. С этой точки зрения он в своем главном произведении «Мир как воля и представление», как и в других сочинениях, самым страстным образом принципиально осуждает всю евклидову систему; в особенности, евклидово доказательство пифагоровой теоремы служит предметом его нападок. Он называет это доказательство «мышеловочным»: оно, пожалуй, действительно в конце концов заставляет согласиться со справедливостью утверждения тем, что коварно запирает поочередно все, какие только могут быть, выходы, но никогда не приводит к внутреннему познанию истины.

Ни один математик не может согласиться с Шопенгауэром в этих его рассуждениях, ибо какую бы огромную роль ни приписывали мы в математике интуиции как эвристическому принципу, содействующему прогрессу науки, но в конце концов в качестве последней единственно решающей инстанции должно будет выступить логическое доказательство, которое исходит из сделанных предположений.

Укажу в связи с этим на очень интересно написанную академическую торжественную речь «О ценности и мнимой непригодности математики» А. Прингсхайма, в которой как раз подробно рассматриваются нападки Шопенгауэра.

Конечно, если бы Шопенгауэр нападал только на раздробленную, лишенную плавности форму изложения у Евклида, если бы он желал более наглядной разработки идей каждого доказательства и вообще наряду с логикой более полного признания роли интуиции, то с ним можно было бы вполне согласиться. Но и в таком случае евклидово доказательство теоремы Пифагора оказалось бы не очень подходящим объектом для его нападок; дело в том, что именно это доказательство я считаю по самой его идее, если отвлечься от внешних качеств евклидовой манеры, особенно наглядным, как ясно видно из такого его изложения.

Рис. 147

Чертим известную фигуру (рис. 147) прямоугольного треугольника с квадратами I, II на катетах и с квадратом III на гипотенузе;

опускаем на гипотенузу высоту треугольника, продолжение которой делит квадрат III на два прямоугольника I и так что III

Теперь покажем, что прямоугольник I равен квадрату I. Для этого проводим обе вспомогательные пунктирные прямые и рассматриваем наискось заштрихованный треугольник Д и вертикально заштрихованный треугольник А. Первый из них имеет, очевидно, с квадратом I общее основание и высоту и поэтому, как известно, равен его половине:

Точно так же вертикально заштрихованный треугольник А равен половине прямоугольника Г;

Наконец, усматриваем, что оба треугольника конгруэнтны и, следовательно, равны по площади:

а потому действительно

Таким же образом можно доказать, что

откуда в связи с (1) действительно вытекает пифагорова теорема

Таким образом, здесь доказательство проведено совершенно коротко и, казалось бы, вполне ясным для всякого человека способом. При этом интуиция и логика переплетаются таким образом — и в этом я вижу идеал, — что каждый логический шаг тотчас же приводится также к наглядной очевидности. Вспомогательную теорему

которой мы здесь пользуемся, тоже можно, как известно, сделать вполне наглядно ясной при помощи рис. 148, на котором получается из половины квадрата 1 путем сдвига отдельных горизонтальных полосок (принцип Кавальери!).

Конечно, в том, чтобы эти простые идеи получили правильную и ясную форму, существенную роль играет более плавное по сравнению с евклидовою окостенелою схемою изложение и удачно выбранные обозначения.

Рис. 148

Рис. 149

Особенно я настаиваю на том, чтобы еще шире применять в преподавании для различения линий и площадей различные штриховки или еще лучше, что, к сожалению, в настоящем тексте не осуществимо, различные краски вместо евклидова приема обозначать буквами исключительно только углы; несравненно легче найти «красный» или «желтый» треугольник, чем медленно разыскивать сначала вершины Е, К и L в сложной фигуре.

Таким образом, я полагаю, что нападки Шопенгауэра на евклидово доказательство по существу совершенно несправедливы; это станет еще яснее, если посмотреть, чем он желал бы его заменить. Он дает известное доказательство Платона (рис. 149), которое действительно можно понять при одном взгляде на чертеж, и ограничивается тем, что требует подобного же и для общего случая. Но ведь это приводит как раз к евклидову доказательству в разумном его изложении, и действительно оба доказательства, если посмотреть в корень вещей, совершенно в равной мере составлены из логики и из интуиции с той лишь разницей, что случай Шопенгауэра как более специальный позволяет, естественно, и несколько более простое решение, так что здесь и для неопытного в этих вещах человека легче сразу интуитивно постичь содержащуюся в доказательстве цепь логических выводов»