3. Наиболее общие взаимно однозначные непрерывные точечные преобразования
Все функции, которыми мы до сих пор пользовались для записи отображений, были непрерывными и сколько угодно раз дифференцируемыми и даже аналитическими (т. е. разложимыми в ряд Тейлора); зато мы допускали также и многозначные, даже бесконечнозначные функции (например, логарифм). Теперь же наше главное требование будет заключаться как раз в том, чтобы наши отображающие функции были взаимно однозначными без всякого исключения, а во всем остальном будем требовать только их непрерывности, не делая никаких предположений о существовании производных и т. д. Задача наша сводится к отысканию тех свойств геометрических фигур, Которые остаются неизменными при этих наиболее общих взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях.
Представьте себе, например, что вы изготовили какую-нибудь поверхность или тело из резины и наметили на ней какие-нибудь фигуры. Что в этих фигурах останется неизменным, если вы станете самым произвольным образом деформировать резину (растягивать, сжимать, изгибать), не разрывая ее?
Совокупность свойств, получаемых при изучении этого вопроса, образует область так называемого Analysis situs («анализ положения»), можно было бы сказать — область учения о чистейших соотношениях положения, совершенно не зависящих от отношений, связанных с понятием величины.
Это название впервые ввел Риман, который в своей знаменитой работе 1857 г., посвященной теории абелевых функций, пришел к необходимости подобных исследований, исходя из теоретико-функциональных интересов. Впрочем, и после этого часто бывало так, что в геометрии совершенно умалчивают об Analysis situs и обращаются к этому учению только в теории функций, когда в ней обнаруживается потребность. Совершенно не так поступает Мёбиус в своей работе 1863 г. Исходя из чисто геометрических интересов, он называет там фигуры, которые получаются одна из другой посредством взаимно однозначных взаимно непрерывных деформаций, элементарно соответственными, ибо свойства, инвариантные по отношению к этим преобразованиям, являются наиболее простыми из всех возможных свойств.
