II. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Общая постановка вопроса; связь с аналитической геометрией.
Исследования, связанные с основаниями геометрии, во многих случаях сталкиваются с интересами теории познания и психологии, которые сами исследуют вопрос о том, как возникает пространственная интуиция, и о том, вправе ли мы пользоваться математическими методами для ее изучения.
Конечно, здесь мы можем затронуть эти вопросы лишь совершенно вскользь, а главным образом будем изучать математическую сторону проблемы, рассматривая при этом пространственную интуицию как нечто данное. В частности, мы должны будем оставить в стороне также и столь важный для педагогики вопрос о том, как у отдельного индивидуума пространственная интуиция развивается в ту строгую форму, к которой привыкли мы как математики.
Будучи так ограничена, наша задача заключается в том, чтобы возвести все здание геометрии на возможно более простом основании при помощи логических операций. Конечно, чистая логика не может дать нам этого основания; логическая дедукция может начать функционировать лишь с того момента, когда решена первая часть проблемы, т. е., когда уже обладают системой некоторых простых основных понятий и некоторых простых предложений, так называемых аксиом, которая учитывает простейшие факты нашей интуиции. Разумеется, эти аксиомы можно в зависимости от вкуса расчленять более или менее детально на отдельные взаимно независимые составные части, да и в других отношениях при их выборе имеется еще большая доля свободы. Ведь единственное условие, которому должна удовлетворять система аксиом, дается второй частью нашей задачи: упомянутые основные понятия и аксиомы должны, быть такими, чтобы из них можно было вывести логически все содержание геометрии, не обращаясь далее к интуиции.
Что касается способа трактовки этой задачи, то весь уклон нашего курса указывает на определенный характерный путь. До сих пор мы ведь постоянно пользовались принципиально помощью анализа, в частности, методами аналитической геометрии. Так и здесь мы снова будем предполагать известным анализ и зададимся лишь вопросом, как можно наикратчайшим образом от той или иной системы аксиом прийти к исходным моментам аналитической геометрии. К сожалению, эта простая формулировка применяется очень редко по той причине, что геометры часто относятся к применению анализа с некоторой пугливостью и насколько возможно стараются обходиться без чисел.
