3. Приложение теории инвариантов к геометрии
Интерпретация теории инвариантов с n переменными в терминах аффинных преобразований пространства Rn с неподвижным началом.
Начинаем с того, что рассматриваем переменные 
как обыкновенные ортогональные неоднородные координаты, т. е. 
как координаты на плоскости, 
— в трехмерном пространстве, 
— в четырехмерном пространстве и т. д. Линейные однородные подстановки теории инвариантов
изображают в таком случае совокупность аффинных преобразований рассматриваемого пространства при неподвижном начале координат. Таким образом, отдельные относительные инварианты сами по себе оказываются такими геометрическими величинами, которые при всех аффинных преобразованиях остаются без изменения «с точностью до некоторого множителя» (т. е. не считая возможного появления некоторого множителя), иными словами, величинами, которые имеют определенное значение в аффинной геометрии, определяемой этими преобразованиями.
Если, например, в бинарном случае, т. е. в плоскости, даны две точки 1, 2, то основной инвариант 
изображает двойную площадь треугольника 
, взятую с надлежащим знаком, как мы это, уже знаем из предшествующего. Поскольку известно, 
аналогичное свойство для пространства), что при аффинном преобразовании площадь треугольника лишь умножается на определитель подстановки, то это и означает, что 
представляет собой относительный инвариант веса 1.
Частное двух площадей остается абсолютно неизменным. Точно так же инвариантный смысл имеет уравнение 
так как появляющийся в результате преобразования множитель для него не имееет существенного значения, и действительно это уравнение выражает тот факт (имеющий абсолютно инвариантный смысл относительно наших аффинных преобразований), что три точки О, 1, 2 лежат на одной прямой.
Рис. 99
Если же имеем большее число точек 
(рис. 99), то для них полная система инвариантов состоит из всех их определителей 
; поэтому, если удается составить какую-либо величину, зависящую целым и рациональным образом от координат, которая относительно инвариантна при всех аффинных преобразованиях (1), т. е. которая вообще имеет значение в нашей аффинной геометрии, то такая величина должна изображаться в виде многочлена от 
Это поддается в простых случаях непосредственной геометрической проверке. Например, площадь всякой фигуры на плоскости, скажем, многоугольника (1, 2, 3, 4), представляет инвариант такого вида; и действительно, общая формула, которую мы дали раньше (см. с. 18) для площади многоугольника, принимает в случае четырехугольника вид
эта запись площади в виде многочлена от А, и представляет собой не что иное, как выражение общей теоремы для этого специального случая.
Наконец, мы должны еще сказать о сигизиях между инвариантами. Основная сизигия
представляет собой тождество между шестью площадями треугольников, образуемых четырьмя произвольными точками и началом, т. е. некоторую общую теорему нашей аффинной геометрии. Конечно, нечто аналогичное имеем в случае каждой сизигии, и точно так же и обратно; каждая теорема нашей аффинной геометрии, поскольку она является соотношением между инвариантами аффинных преобразований (1), должна допускать выражение при помощи сизигий.
Поэтому в согласии с тем, что мы уже в свое время утверждали относительно полной системы сизигий в случае четырех точек, все теоремы, имеющие место в нашей аффинной геометрии для системы четырех точек, должны следовать из этой одной только что приведенной теоремы. Подобным же образом можно убедиться в справедливости такого общего утверждения: теория инвариантов, которая дает полную систему как инвариантов, так и сизигий, тем самым, делает возможным полное (без исключений) систематическое перечисление всех величин и теорем, воз можных в нашей аффинной геометрии.
Я и здесь не буду входить в детали этих рассуждений, упомяну только, что наряду с точками можно рассматривать также и образы нашей геометрии, определяемые формами
Подобная форма относит каждой точке плоскости некоторое числовое значение: другими словами, она определяет некоторое скалярное поле. С этой точки зрения нетрудно дать геометрическую интерпретацию инвариантов заданной формы, и тогда каждая сизигия между инвариантами снова изобразит некоторую геометрическую теорему.
