ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Общие замечания о преобразованиях и их аналитическом изображении.

Глава, которую мы теперь начинаем, является одной из важнейших в научной геометрии. Но ее основные идеи, а также простейшие ее части дают — это мне особенно желательно отметить в настоящем курсе — также очень оживляющий материал для школьного преподавания; ведь в конце концов геометрические преобразования являются не чем иным, как обобщением простого понятия функции, которое наши современные тенденции к реформе стремятся всюду поставить в центр всего преподавания математики.

Я начинаю с рассмотрения точечных преобразований, которые образуют простейший класс геометрических преобразований. При их применении точка остается элементом пространства, т. е. они относят каждой точке опять-таки некоторую точку — в противоположность таким преобразованиям, которые переводят точку в другие элементы пространства, как, например, в прямые, плоскости, шары и т. п. Я и здесь на первое место выдвигаю аналитическую трактовку вопроса, так как она всегда делает возможным наиболее точное выражение фактов.

Аналитическим изображением точечного преобразования является то, что в анализе называют введением новых переменных х, у, z, заданных как функции старых переменных х, у, z:

Такую систему уравнений можно интерпретировать в геометрии двумя различными способами — я сказал бы «активно» и «пассивно». Пассивно она представляет собой изменение системы координат, т. е. (неподвижной) точке с координатами х, приписываются новые координаты

Именно таким истолкованием мы до сих пор постоянно и пользовались при изучении изменений прямоугольной системы координат; в случае функций более общего вида эти формулы охватывают также переход к системам координат совершенно иной природы, например треугольным, полярным, эллиптическим и др.

В противоположность этому при активном понимании фиксируют систему координат, а преобразовывают само пространство. С каждой точкой сопоставляют точку и этим действительно устанавливают некоторое преобразование точек пространства; это и является тем истолкованием, с которым мы в дальнейшем будем постоянно иметь дело.

Рис. 49

Следуя этим разъяснениям, мы получим самые первые примеры точечных преобразований, истолковывая активно те формулы, которые раньше (с. 64 — при пассивном понимании — изображали параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение, изменение масштаба прямоугольной системы координат. Можно легко убедиться в том, что первые две из упомянутых групп формул дают параллельный перенос и соответственно поворот около О всего пространства, рассматриваемого как твердое тело по отношению к неподвижной системе координат; третья группа дает центральную симметрию пространства относительно начала О (с каждой точкой х, у, z сопоставляем точку , симметричную с нею относительно О, рис. 49); наконец, последняя группа формул представляет собой так называемую гомотетию всего пространства с центром в точке О.

Наши исследования мы начинаем с одной особенно простой группы точечных преобразований, которая охватывает все названные преобразования как частные случаи, — с группы аффинных преобразований.