Применение проектирования для вывода свойств конических сечений.
2) Второе применение проективных преобразований, на котором я хочу теперь остановиться, касается доказательства геометрических предложений. Для этой же цели мы уже использовали раньше (с. 118-119) аффинные преобразования.
а) Исходим из того, что окружность, будучи подвергнута проективным преобразованиям или соответственно центральным перспективам, переходит в любое «коническое сечение», т. е. в сечение произвольной плоскостью конуса, боковая поверхность которого образована проектирующими прямыми, проходящими через точки окружности; здесь перед вами модель, которая показывает, как таким образом получаются эллипс, гипербола и парабола (рис. 68).
Рис. 68
b) Для проективной геометрии существует, следовательно, только одно коническое сечение, ибо любые два таких сечения могут быть проективно переведены в окружность, а значит, и друг в друга.
Подразделение же на эллипсы, параболы и гиперболы не указывает с этой точки зрения на какое-либо абсолютное внутреннее различие, а касается только случайного положения относительно прямой, которую обычно выделяют из других прямых в качестве «бесконечно удаленной».
c) Установим теперь следующую основную теорему о двойном отношении в конических сечениях: любые четыре неподвижные точки 1, 2, 3, 4 конического сечения проектируются из пятой подвижной точки Р того же конического сечения четырьмя лучами, которые имеют постоянное двойное отношение, не зависящее от положения точки Р (на сечении).
Для доказательства вернемся к той окружности, из которой рассматриваемое коническое сечение возникает посредством центральной перспективы; поскольку при этом (т. е. при перспективном преобразовании) двойные отношения остаются неизменными, то наше предложение во всяком случае будет, вообще, справедливым, если только на этой окружности четыре точки V, 2, 3, 4, соответствующие точкам конического сечения (рис. 69), проектируется из произвольных двух других точек 
той же окружности лучами с одинаковым двойным отношением.
Рис. 69
А это непосредственно вытекает из того, что, согласно теореме о вписанных углах, углы пучка 
соответственно равны углам пучка 
следовательно, будут равны также одно другому и двойные отношения для обеих четверок лучей, составленные из синусов углов.
d) На основании этого предложения Штейнер дал общее определение конических сечений, исходя из двух «проективно сопряженных» пучков лучей в которых каждые две соответственные четверки лучей имеют одинаковое двойное отношение.
Коническое сечение представляет тогда геометрическое место точек пересечения соответственных лучей этих проективно сопряженных между собой пучков. Надеюсь, что этих немногих указаний будет достаточно для того, чтобы сделать понятным для вас, какое огромное значение проективные преобразования имеют для теории конических сечений. Подробности вы можете найти в любой книге по проективной геометрии 10°).
А теперь, следуя общему ходу мыслей этого второго раздела нашего курса, мы перейдем к новым классам геометрических преобразований, которые уже не принадлежат к линейным преобразованиям, рассматривавшимся нами до сих пор, начиная с движений и кончая наиболее общими проективными отображениями.
