Теория полярного планиметра Амслера.

Чтобы показать вам, насколько целесообразным является введение этих понятий, я опишу теперь полярный планиметр Амслера.

Этот чрезвычайно остроумный очень часто применяемый на практике аппарат, сконструированный и 1854 г. механиком Якобом Амслером в Шаффхаузене (Швейцария), выполняет определение площадей как раз в духе изложенных выше идей.

Начну с изложения теоретического принципа конструкции.

Сообщим штанге (рис. 18) длиною такое перемещение по плоскости, чтобы каждый из ее концов описал замкнутую кривую, а сама штанга возвратилась в свое исходное положение.

Наша цель — определить площадь той части плоскости, по которой проходит (которую «заметает») при своем движении наша штанга.

Рис. 18

Рис. 19

При этом будет вполне естественным считать отдельные части этой площади положительными или отрицательными в зависимости от того, описываются ли они штангой в одном или в другом направлении, руководствуясь при этом нижеизложенным правилом. А именно, непрерывное движение штанги заменяем последовательностью произвольно малых скачкообразных «элементарных движений» (из положения 12 в соседнее положение ) аналогично тому предельному переходу, который выполняют при каждом интегрировании.

Тогда искомая площадь окажется равною пределу суммы площадей всех «элементарных четырехугольников» , описываемых при этих элементарных движениях. При этом, как легко видеть, для правильного учета направления движения штанги следует каждый элементарный четырехугольник брать со знаком, соответствующим направлению обхода .

Каждое «элементарное движение» штанги можно разложить на такие три составляющих движения (рис. 19):

1. Параллельный перенос вдоль самой штанги на отрезок

2. Параллельный перенос по перпендикуляру к штанге на отрезок

3. Поворот вокруг вершины на угол

При этом будут описаны соответственно площади площадь «элементарного четырехугольника» (1, 1, 2, 2) можно будет просто заменить суммой этих площадей, ибо совершаемая при этом ошибка имеет высший порядок малости и исчезает при предельном переходе (который ведь является простым процессом интегрирования). Существенным является то, что эта сумма

совпадает также и по знаку с площадью четырехугольника , если только считать положительным при вращении против часовой стрелки, — положительным при параллельном переносе в сторону возрастания

Отсюда интегрирование по всему пути движения дает для площади, описанной штангой такое выражение:

Здесь представляет собой весь угол, на который повернулась штанга относительно своего исходного положения. А так как мы ее возвращаем в конце концов в ее исходное положение, то , если только в процессе движения она не делает ни одного полного оборота. Поэтому вся площадь сводится к

Если же штанга, прежде чем вернуться в исходное положение, делает один или несколько полных оборотов, что вполне возможно при определенном виде кривых, описываемых точками , то равен некоторому кратному Поэтому при каждом полном обороте в положительном направлении следует прибавить к правой части равенства а при каждом полном обороте в отрицательном направлении прибавить — Однако мы для простоты оставим в стороне это маленькое усложнение.

Но эту же площадь J можно определить еще и несколько иным способом (рис. 20).

Рис. 20

Пусть штанга при последовательных элементарных движениях принимает поочередно положения тогда окажется равным сумме площадей элементарных четырехугольников:

или, выражаясь точнее, равным интегралу, представляющему собой предел этой суммы. При этом каждый элементарный четырехугольник следует брать, как и раньше, с определенным указанным здесь направлением обхода. Выбирая теперь как-нибудь начало координат О и применяя установленную нами выше формулу для многоугольника, можем написать

Здесь второе слагаемое каждой строки взаимно уничтожается с четвертым слагаемым следующей строки, так как эти слагаемые выражают площади равных, но. обходимых в противоположном направлении треугольников. Например, Кроме того, так как ряд элементарных четырехугольников конечен, то второе слагаемое последней строки взаимно уничтожается с последним слагаемым первой строки. Таким образом, в каждой строке остаются только первые и третьи слагаемые, но все первые слагаемые дают в сумме, согласно той же формуле, площадь многоугольника т. е. в пределе площадь которая ограничена кривой, описываемой концом штанги. Точно так же, меняя знак каждого третьего слагаемого, получим в сумме площадь многоугольника , т. е. в пределе площадь которая ограничена кривой, описываемой концом

Итак, окончательно яолучаем

причем каждая кривая может, очевидно, как угодно пересекать себя; нужно только при определении площадей точно придерживаться нашего правила знаков.

В формулах (1) и (2) заключается геометрическая теория планиметра. А именно, если вести «подвижной штифт» по кривой, заключающей искомую площадь позволяя в то же время точке двигаться только по замкнутой кривой с известной нам площадью то мы определим площадь по формуле

вытекающей из (2), если только будем иметь приспособление, измеряющее

Рис. 21

Механической частью изобретения Амслера и является такого рода приспособление, состоящее в том, что на штангу как на ось насажен ролик, который при движении штанги катится по бумаге. Пусть — его расстояние от — его радиус (рис. 21). Полный угол на который ролик повернется во время движения штанги, составится, как из слагаемых, из поворотов соответствующих элементарным движениям, а каждый такой поворот можно в свою очередь рассматривать как сумму трех поворотов соответствующих тем трем простым движениям, из которых мы выше составляли каждое элементарное движение штанги

При продольном параллельном переносе «1» ролик не будет вращаться: при поперечном параллельном переносе «2» штанги нормально к на ролик прокатится на отрезок так что наконец, при повороте «3» вокруг угол ролик дрокатится на длину; так что

Итак, окончательно получаем

Если штанга возвращается в исходное положение, не делая ни одного полного оборота, так что при интегрировании по всему пути то полный угол поворота амслерова ролика окажется равным

Если бы штанга совершила один или несколько полных оборотов, то в правую часть этой формулы вошло бы еще соответствующее кратное числа но мы, как и выше, оставляем этот случай в стороне.

На основании формул (2) и (3) мы окончательно получаем

т. е. разность между площадями кривых, описываемых концами штанги, измеряется углом поворота ролика.

При изготовлении этого инструмента оказывается целесообразным сделать площадь равной нулю. Амслер достигает этого превосходным в конструктивном отношении способом, поместив на конце шатуна, который может вращаться вокруг неподвижной точки М (рис. 22).

Рис. 22

Благодаря этому может только передвигаться вперед и назад по окружности и потому не описывает никакой площади, если не считаться с тем возможным усложнением, когда точка обходит один или даже несколько раз окружность в том или другом направлении. Этому «полюсу» М полярный планиметр и обязан своим названием.

Применение аппарата сводится к тому, что «подвижным штифтом», помещенным в точке обводят измеряемую площадь, отсчитывают на ролике угол и вычисляют описанную площадь по формулн

Константу аппарата определяют измерением известной уже площади, например площади квадрата со стороной единица.

Вы видите здесь изображение полярного планиметра (рис. 23).

Рис. 23

Конечно, для того чтобы как следует разобраться в этом аппарате, вы должны видеть его и попробовать работать им. Чтобы аппарат функционировал надежным образом, он должен, конечно, иметь несколько более сложное устройство, чем этого требует одна лишь теория прибора. Ограничусь в этом отношении немногими указаниями: точка М прикреплена к тяжелому предмету и соединена штангой с точкой Теоретически важной штангой о которой мы все время говорили, является не тот второй металлический стержень, который вы видите в аппарате, но параллельное этому стержню воображаемое продолжение оси укрепленного рядом с ним ролика, проходящее через подвижной штифт Последний сопровождается еще параллельным ему тупым штифтом, который служит для того, чтобы не давать острию вонзаться в бумагу. Ролик снабжен нониусом для более точного отсчета углов, а также маховичком для определения числа полных оборотов.

Я не стану больше останавливаться на подробностях; вместо этого я хотел бы высказать следующее предостережение общего характера.

Изучая теорию подобных аппаратов, не пренебрегайте вопросами действительного практического их осуществления. К такому пренебрежению, к сожалению, часто бывает слишком склонен чистый математик, а такую односторонность так же трудно оправдать, как и противоположную крайность того механика, который, не интересуясь теорией, тонет в конструктивных деталях. Тут именно прикладная математика и должна явиться связующим звеном. В частности, она должна учесть то, что в действительности никакой аппарат никогда точно не соответствует теоретической формулировке принципа. Ибо, например, шарниры всегда немного люфтуют, ролик не только катится, но и скользит по бумаге; наконец, сама чертежная бумага не представляет собою идеальной плоскости, и, кроме того, никогда нельзя вполне точно вести штифт вдоль данной кривой. Конечно, для практики чрезвычайно важно то, в какой именно мере оказывают влияние подобные обстоятельства и до какого знака может быть точен результат, который отсчитывается на ролике, а это и должно составить предмет исследования прикладной математики.