3. «Начала» Евклида

Критические замечания по вопросу об историческом положении и научном значении «Начал».

Разрешите мне прежде всего предложить вашему вниманию лучшее в филологическом отношении издание этого творения, обработанное Гейбергом и изданное в 1883—1888 гг. в Копенгагене. В этом издании наряду с греческим оригиналом помещен его латинский перевод, что весьма полезно также и для тех, кто изучал греческий язык в школе. Дело в том, что греческий язык Евклида существенно отличается, особенно своими техническими оборотами, от того греческого языка, какому учат в школе. В качестве литературы для введения в изучение Евклида я особенно рекомендую вам «Историю математики в древности и в средние века» Цейтена.

Вы легче всего овладеете предметом, если сначала прочтете общие комментарии Цейтена, а после того непременно возьметесь за особенно точное изучение текста по Гейбергу, относясь с критическим недоверием ко всякому переводу.

О самом Евклиде мы знаем очень мало.

Известно только, что он жил в Александрии около 300 г. до н. э. Но зато мы имеем достоверное представление об общем характере процветавшей тогда в Александрии научной деятельности. После основания мировой империи Александра постепенно возникла потребность собрать и привести в цельную научную систему все то, что было создано в предшествовавшие столетия. Так получило в Александрии свое развитие преподавание, которое вполне соответствовало известным сторонам нашего теперешнего университетского преподавания. Но только при этом на первый план выдвигалось собирание и приведение в порядок наличного материала, оставляя в стороне свободно развивающееся научное исследование, так что во всей работе оказывалась известная склонность к схоластическому педантизму.

Прежде чем приступить к более детальному разбору «Начал», позвольте сделать несколько замечаний общего характера об историческом положении и научном значении Евклида или, вернее, евклидовых «Начал». Если для полной характеристики личности Евклида надо, несомненно, учесть также и его многочисленные более мелкие произведения, то не будет неправильным, если здесь я буду говорить лишь об одном этом великом творении, ибо только оно завоевало для себя то удивительное господствующее положение, которое, с нашей точки зрения, настоятельно требует критики.

Основанием для этой критики пусть послужит то замечание, что причина ложной оценки «Начал» Евклида коренится в превратном представлении о характере греческого ума вообще, которое было распространено в течение долгого времени и, пожалуй, ещё и теперь пользуется большой популярностью: думали, что греческая культура ограничивалась сравнительно немногими областями, но зато уже эти области она переработала с таким совершенством в один цельный монолит, что достигнутый ею уровень должен для всех времен служить высочайшим, недосягаемым идеалом. Но в действительности современная филологическая наука давно уже обнаружила несостоятельность такой точки зрения. Она показала, что, наоборот, именно греки, как никакой другой народ, творчески проявляли себя во всех областях человеческой культуры с самой большой, какую только можно представить себе, разносторонностью.

И как верно то, что они всюду достигли поразительных для того времени результатов, так же верно и то, что во многих вещах они, с нашей теперешней точки зрения, не пошли дальше первых начатков, и ни об одной области нельзя сказать, что они для всех времен добились вершины человеческих достижений.

Что касается специально математики, то эта переоценка — или, быть может, следует сказать «недооценка»? — греческой культуры нашла свое выражение в догме, согласно которой греки занимались почти исключительно геометрией и создали здесь непревзойденную систему; это мнение, в частности, сконцентрировалось прямо-таки в своего рода культ евклидовых «Начал», в которых усматривали совершеннейшее выражение этой системы. Этому прежнему и устарелому взгляду я должен противопоставить здесь такое утверждение: наряду с геометрией греки плодотворно разрабатывали также и различнейшие другие области математики, но мы в настоящее время всюду, включая и геометрию, существенно перегнали их.

Позвольте мне теперь подробнее изложить и обосновать это утверждение. Составляя свои «Начала», Евклид отнюдь не имел в виду написать энциклопедию всех геометрических знаний своего времени, иначе он не оставил бы в них без всякого упоминания целые отделы геометрии, тогда уже, несомненно, известные; для примера я назову только теорию конических сечений и высших кривых, которую греки уже в раннюю эпоху начали подробно разрабатывать, хотя своего полного расцвета она достигла лишь у Аполлония (около 200 г. до нашей эры). Напротив, «Начала» должны были дать лишь введение в изучение геометрии — и вместе с тем и математики вообще — и при этом они были, по-видимому, приспособлены еще к одной совершенно особой цели: они должны были дать изложение математики в том виде, в каком она считалась необходимой с точки зрения Платоновой школы, как подготовка к общим занятиям философией.

Такое назначение «Начал» делает понятным, почему главное значение придавалось выработке логических связей и установлению замкнутой в себе системы геометрии, тогда как все практические применения целиком отодвигались в сторону. В угоду этой же системе Евклид, несомненно, оставил без внимания целую область теоретического знания своего времени, которая тогда еще ненастолько развилась, чтобы могла уложиться в нее.

Мы скорее всего получим правильное представление об ограниченности материала евклидовых «Начал» по сравнению с объемом греческой математики вообще, если для сравнения дадим общую характеристику личности и всех достижений величайшего греческого математика Архимеда, который жил вскоре после Евклида, около 250 г. до нашей эры, в городе Сиракузы; я выделю только несколько особенно интересных пунктов различия.

1. В полную противоположность духу, господствующему в «Началах» Евклида, Архимед обладает сильно развитой склонностью к числовым операциям. Чтобы привести определенный пример, укажем, что ведь одним из его величайших достижений является вычисление числа я посредством аппроксимирования окружности правильными многоугольниками; между прочим, именно Архимед находит известное приближенное значение 22/7 для я. У Евклида же нет и тени интереса к таким числовым значениям; вместо этого мы у него встречаем лишь указание на то, что площади двух кругов относятся, как квадраты их радиусов, или что длины двух окружностей относятся, как сами радиусы, но не делается даже попытки вычисления множителя пропорциональности, т. е. числа я.

2. Вообще для Архимеда является характерным большой интерес ко всякого рода приложениям; он занимается самыми различными проблемами физики и техники. Всем известно, как он нашел основной принцип гидростатики или как он принимал деятельное участие в защите Сиракуз конструированием весьма эффективных вспомогательных машин. А до чего мало Евклид в своих «Началах» принимает во внимание применения, видно особенно ясно из того небольшого факта, что он не называет даже простейших чертежных инструментов — линейки и циркуля;

он просто постулирует in abstracto, что можно начертить прямую, проходящую через две точки, или описать круг около точки, не упоминая ни единым словом о том, как это делают. Здесь Евклид находится, несомненно, во власти того взгляда, вообще господствовавшего в известных античных философских школах, согласно которому практические применения науки являются чем-то низкопробным, ремесленническим. К сожалению, этот взгляд до сих пор сохранился во многих местах, и все еще встречаются университетские преподаватели, которые не жалеют презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое сказывается в таких взглядах, следует бороться самым решительным образом. Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, предоставляя каждому возможность заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие гении, каковыми являются Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охватывали равномерно и теорию и практику.

3. Наконец, еще одно отличие особенно бросается в глаза: Архимед был великим исследователем и первопроходцем, в каждой своей работе он продвигал область нашего знания на шаг вперед, а в «Началах» Евклида речь идет только о собирании и систематизации уже имеющегося материала. С этим связана разная форма изложения, на что я при случае указывал также и в прошлом семестре в моих общих выводах. В этом отношении особенно характерна для Архимеда уже упомянутая в первом томе рукопись, найденная в 1906 г., в которой он сообщает ученому другу свои новейшие исследования по кубатуре пространственных образов. Здесь изложение в точности соответствует тому способу, которого мы придерживаемся в нашем теперешнем преподавании; материал дается в генетической форме: сначала намечается ход мыслей, и никоим образом не применяется то окостенелое расчленение на предположения, утверждение, доказательство, т. е. то ограничение, которое господствует в «Началах» Евклида.

Впрочем, еще до этого нового открытия было уже известно, что греки знали наряду с выкристаллизованным «евклидовым» изложением какой-нибудь систематизированной дисциплины также и более свободную генетическую форму изложения, которой пользовался как исследователь в свой работе, так и учитель в преподавании и которую, возможно, и сам Евклид применял в других сочинениях или в своем собственном преподавании. Действительно, тогда в Александрии существовало даже точное подобие наших литографированных лекционных записок; их называли hypomnema, и это было более или менее вольно составленное воспронзведение устного преподавания.

Сказанного достаточно для сравнения «Начал» со всей областью греческой математики. Теперь, чтобы закончить наш ход мыслей, я хочу еще показать на двух-трех примерах, как далеко шагнула современная математика по сравнению с древнегреческой. Одно из важнейших отличий заключается в том, что греки не имели еще самостоятельных арифметики и анализа, не знали ни десятичных дробей, облегчающих сложные числовые выкладки, ни общего буквенного исчисления; и то, и другое являются, как я показал более подробно в минувшем зимнем семестре, изобретением пришедшего впоследствии нового времени, эпохи Возрождения. Заменой (суррогатом) этого для греков могли служить только исчисление в геометрической форме, в котором вместо чисел оперируют построениями с отрезками или с другими геометрическими величинами, что оказывается, конечно, несравненно более громоздким, чем наши арифметические действия. В связи с этим находится и то, что греки не владели также тем, чем, собственно, впервые обусловливается практичность нашей арифметики и анализа — отрицательными и мнимыми числами. Вследствие этого грекам недоставало той общности метода, которая позволяет охватить одной формулой все случаи, какие только возможны, и крайне длительные различения отдельных случаев у них играли огромную роль.

В геометрии этот недостаток часто дает себя сильно чувствовать именно там, где мы в настоящее время — в этих лекциях мы всегда так и поступали — легко можем, - применяя аналитические средства, достичь полной общности, минуя всякие различения отдельных случаев. Ограничимся этими немногими указаниями. Вы сами можете легко на основе наших личных знаний дать себе дальнейший отчет в успехах современной математики по сравнению с античной.