III. ВЫСШИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Мы займемся теперь исследованием таких преобразований, которые изображаются уже не линейными, а высшими рациональными, алгебраическими либо даже трансцендентными функциями:

Следуя тенденции этого курса, я не стану излагать здесь общую систематику вопроса, а приведу лишь ряд. отдельных примеров, которые имеют важное значение как для чистой математики, так и в особенности для применений.

В первую очередь я остановлюсь на самом употребительном из таких преобразований — на преобразовании - посредством обратных радиусов, которое называется также инверсией.

1. Преобразование посредством обратных радиусов

При этом преобразовании каждой точке сопоставляется, как известно, та точка луча исходящего из начала координат О и проходящего через , для которой произведение равно некоторой заданной константе (рис. 70); этому соотношению преобразование и обязано своим названием.

Вы знаете, что эти преобразования играют большую роль в чистой математике, прежде всего в теории функций комплексной переменной. Но не менее часто встречаются они также в физике и других применениях — об одном из этих применений нам еще придется говорить особо.

Рис. 70

1) При изучении нашего преобразования я снова начну с вывода его уравнений в прямоугольных координатах. Поскольку лежат на одной прямой, проходящей через О, то должно быт!

а соотношение между расстояниями если для простоты принять упомянутую константу равной единице, даст

Отсюда выводим такие уравнения преобразования:

точно так же получается что и, обратно,

Итак, как координаты точки , так и координаты точки выражаются через координаты другой точки (т. е. или соответственно ) в виде некоторых, в обоих случаях одних и тех же рациональных функций Знаменателем служит квадратичное выражение; мы здесь имеем дело с частным случаем так называемого квадратичного бирационального преобразования. Существует обширный класс таких бирациональных (вообще говоря, взаимно однозначных) преобразований, которые в обоих направлениях изображаются посредством рациональных функций.

Под названием кремоновых преобразований они сделались предметом теории, достигшей широкого развития. Я считал желательным хотя бы упомянуть о них здесь в связи с изучением их простейшего представителя.

2) Уравнения (3), (4) показывают, что, за исключением пока что начала координат, каждой точке пространства сопоставляется некоторая точка и, наоборот, каждой точке — некоторая точка . Если же приближать одновременно к нулю, то знаменатель выражений (3) оказывается беско-, нечно малой высшего порядка, чем числители, и поэтому координаты становятся бесконечно большими; мы могли бы поэтому назвать начало координат точкой схода нашего преобразования.

Если же, наоборот, х, у, z по тому или другому закону возрастают бесконечно, то в силу стремятся к нулю; следовательно, если бы мы захотели придерживаться введенной нами выше терминологии, то должны были бы сказать, что бесконечно удаленная часть пространства состоит только из одной точки. Но ведь введение «бесконечно удаленной плоскости» было в предыдущем разделе только удобным способом выражения, приспособленным к проективным преобразованиям; это было связано с тем, что при этих преобразованиях бесконечно удаленная часть пространства ведет себя как плоскость, т. е. может быть преобразована в точки той или иной конечной плоскости; этот же способ выражения давал возможность высказывать теоремы без всяких исключений и без различения отдельных случаев. Но ничто нам не мешает ввести здесь другой, отличный от предыдущего способ выражения, чтобы с его помощью и теперь, как и раньше, прийти к теоремам, справедливым без всякого исключения. Бесконечно удаленная область переводится преобразованием обратных радиус-векторов в одну точку; поэтому мы теперь будем говорить, что существует только одна бесконечно удаленная точка, которая при нашем преобразовании как раз сответствует началу координат. Тогда наше преобразование действительно оказывается взаимно однозначным без всякого исключения.

Сколько бы мы ни подчеркивали, что здесь, как и раньше, ни в малейшей степени не имеются в виду какие-либо метафизические представления о природе бесконечно далекого, это оказывается недостаточным.

Всегда снова и снова находятся люди, которые, односторонне привыкнув к какому-нибудь одному из этих двух способов выражения, стремятся придать ему какой-то трансцендентальный смысл; такие представители двух разных точек зрения часто вступают друг с другом в спор. В действительности же и те, и другие не правы: они забывают, что речь идет о произвольных соглашениях, приспособленных в каждом отдельном случае только к той или иной определенной цели.

3) Важнейшее свойство нашего преобразования состоит в том, что при нем, вообще говоря, сферы переходят снова в сферы. Действительно, уравнение всякой сферы имеет вид

подставляя сюда вместо их выражения из уравнений (3), а вместо его выражение из соотношения получим после умножения на уравнение

т. е. действительно снова уравнение сферы. При этом, конечно, следует заметить, что уравнением (5) охватываются при также и плоскости; здесь целесообразно будет рассматривать их как частный случай сфер, а именно, как такие сферы, которые содержат бесконечно удаленную точку. При нашем преобразовании они переходят в сферы, проходящие через нулевую точку, которая как раз и соответствует бесконечно удаленной точке; точно так же и, обратно, сферы, содержащие нулевую точку, переходят в сферы, содержащие бесконечно удаленную точку, т. е. в плоскости. Таким образом, при этих соглашениях действительно оказывается справедливой без всякого исключения теорема о том, что сферам всегда соответствуют сферы.

4) Всякие две сферы (а также сфера с плоскостью) пересекаются из окружности; поэтому каждой окружности соответствует тоже окружность; при этом прямще линии следует рассматривать тоже как «окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку», которым в силу нашего преобразования соответствуют окружности, проходящие через нулевую точку.