Применение к теории эллипсоида.

Этих немногих предложений, которые мы получили из аналитического определения аффинного преобразования, достаточно для того, чтобы составить себе вполне наглядное геометрическое представление об этом преобразовании.

При этом нам удалось получить упомянутые предложения проще, чем это обычно делается, благодаря тому, что мы могли воспользоваться понятием вектора, которое в данном случае является самым подходящим вспомогательным средством.

Наиболее отчетливую геометрическую картину аффинных преобразований можно получить, если за исходный пункт взять сферу в пространстве R с координатами . Этой сфере в пространстве R с координатами будет соответствовать, как мы видели, некоторый эллипсоид. Если будем рассматривать какую-нибудь систему параллельных хорд сферы, то им, согласно 3), должны соответствовать также взаимно параллельные хорды эллипсоида (рис. 51).

Рис. 51

Далее, в силу подобия соответственных рядов точек (см. 4)) серединам хорд сферы также соответствуют середины хорд эллипсоида, а так как первые лежат в одной (диаметральной) плоскости (сферы), то вторые в силу основного свойства 2) также должны лежать в одной плоскости, которую называют диаметральной плоскостью эллипсоида. Но, как известно, все диаметральные плоскости сферы проходят через ее центр М, который делит пополам каждую проходящую через него хорду (диаметр сферы); поэтому соответствующая точка М (центр эллипсоида) принадлежит всем диаметральным плоскостям и делит пополам каждую проходящую через нее хорду (диаметр эллипсоида).

Далее, важно установить, что соответствует системе трех взаимно перпендикулярных диаметральных плоскостей сферы. Последняя имеет, очевидно, то характеристическое свойство, что каждая из таких трех плоскостей делит пополам хорды, параллельные линии пересечения двух других плоскостей. Это свойство сохраняется при аффинных преобразованиях, а поэтому каждой тройке взаимно перпендикулярных диаметральных плоскостей сферы соответствует такая тройка диаметральных плоскостей эллипсоида, что хорды, параллельные линии пересечения каких-либо двух из этих плоскостей, делятся третьей плоскостью пополам. Такие три плоскости называют тройкой сопряженных диаметральных плоскостей, а их три линии пересечения — тройкой сопряженных диаметров.

Но каждый эллипсоид имеет, — конечно, здесь я могу считать это известным — три так называемые главные оси, т. е. тройку сопряженных диаметров, из которых каждый перпендикулярен двум другим. Согласно предыдущему им соответствуют в силу нашего аффинного преобразования три взаимно перпендикулярных диаметра сферы в

Для простоты принимаем, что центрами эллипсоида и шара являются начала координат в и соответственно в а затем надлежащим поворотом делаем обе ортогональные тройки осей осями в и соответственно осями в при этом можно представлять себе по желанию, что поворачивается либо пространство, либо система координат. Во всяком случае, обе эти операции изображаются особым, подробно рассмотренным раньше типом линейных однородных подстановок координат, а поскольку последовательное применение нескольких линейных однородных подстановок всегда равносильно одному преобразованию того же типа, то и в новых координатах уравнения наших преобразований, переводящих R в R, также имеют вид (2):

Но при нашем выборе новых систем координат оси соответствует ось т. е. при всегда будет также откуда следует, что совершенно так же находим, что

Поэтому каждое аффинное преобразование с точностью до надлежащим образом выбранных поворотов представляет собой не что иное, как так называемое «чистое аффинное преобразование»

или, как говорят физики, чистую однородную деформацию (по-английски pure strain). Содержание этих уравнений поддается, очевидно, простой геометрической интерпретации. А именно: пространство растягивается (или соответственно сжимается, если ) в направлении оси в раз и, кроме того, еще зеркально отражается (относительно плоскости ), если точно так же происходит -кратное и соответственно -кратное растяжение (сжатие) в двух других координатных направлениях.

Мы можем поэтому кратко охарактеризовать чистое аффинное преобразование как равномерное растяжение (сжатие) пространства по трем взаимно перпендикулярным направлениям и получаем, таким образом, геометрическую картину, нагляднее которой едва ли можно требовать.

При введении косоугольных координат все принимает еще более простой вид. А именно, в пространстве R выбираем, не изменяя положения начала, какую-либо произвольную прямоугольную или косоугольную систему осей и принимаем три прямые в R, аффинно соответствующие этим осям, за оси некоторой, вообще говоря, косоугольной системы координат в R. А так как формулы перехода от прямоугольных к косоугольным декартовым координатам (при неподвижном начале) являются, как известно, линейными однородными уравнениями вида (2), и, с другой стороны, композиция нескольких таких подстановок приводит снова к подстановкам того же типа, то запись аффинного преобразования и при употреблении описанных только что косоугольных координат должна иметь вид (2). Но, согласно нашему выбору координатных осей, эти уравнения должны переводить три оси системы координат, введенной в R, в оси системы, введенной в R, из чего, буквально повторяя приведенные выше рассуждения, мы можем заключить, что эти уравнения действительно сводятся к полученному окончательно виду (6).

Итак, при применении (косоугольных) декартовых координат, отнесенных к двум соответственным тройкам осей, уравнения аффинного преобразования сами собой получают эту простую специальную форму

В связи с этими рассуждениями можно получить очень изящное решение задачи о нахождении механизма, позволяющего производить аффинные преобразования. Эту задачу я поставил в зимнем семестре 1908/09 г. во время чтения курса механики. Наилучшее решение как с точки зрения основных идей, так и в смысле целесообразности технического устройства механизма дал Ремак.

Основным кинематическим элементом, использованным Ремаком, являются так называемые «нюрнбергские ножницы»; это — цепь шарнирно связанных стержней, образующих ряд подобных друг другу параллелограммов. Вершины общие каждым двум таким соседним параллелограммам, при всех деформациях этой шарнирной системы описывают на общей прямой g, содержащей эти точки, т. е. на общей диагонали всех параллелограммов, подобные ряды точек (рис. 52).

Рис. 52

Если из трех таких ножниц составить треугольник, соединяя их шарнирно в каких-нибудь вершинах S, то система точек, образованная из всех шарнирных точек S, будет преобразовываться аффинно при всяком изменении всей шарнирной системы; к этому можно непосредственно прийти, приняв диагонали двух из этих ножниц за оси косоугольной системы координат (рис. 53).

Рис. 53

Другие точки, которые одновременно подвергаются тому же аффинному преобразованию, можно получить, помещая между какими-либо двумя шарнирными точками треугольника еще одни ножницы того же рода и рассматривая их шарнирные точки (на рисунке все ножницы обозначены их диагональными прямыми). Следуя этому принципу, можно построить самые разнообразные плоские, а также и пространственные модели аффинно изменяемых систем.

Я не буду здесь заниматься дальнейшим разбором воех свойств аффинных преобразований, а покажу лучше, где эти преобразования могут найти себе применение.

Начну с примера, который покажет, каким замечательным вспомогательным средством для вывода новых геометрических теорем являются они, а именно, рассмотренное выше аффинное преобразование сферы в эллипсоид дает возможность получить из известных свойств сферы новые предложения об эллипсоиде. Например, при построении каких-нибудь трех взаимно перпендикулярных диаметров сферы и проведении через их концы шести касательных плоскостей, получается описанный около этой сферы куб с объемом , где — радиус шара.

Наше аффинное преобразование переводит, очевидно, каждую касательную плоскость сферы в некоторую касательную плоскость эллипсоида. Поэтому при помощи упомянутых предложений находим, что каждому такому кубу, взятому в пространстве R, соответствует в пространстве R некоторый описанный около эллипсоида параллелепипед, грани которого касаются эллипсоида в концах трех взаимно сопряженных диаметров и параллельны соответствующим диаметральным плоскостям, а ребра соответственно параллельны этим трем диаметрам.

Рис. 54

(Аналогичное свойство имеем на плоскости для круга и эллипса, ср. рис. 54.) Это рассуждение можно, очевидно, сразу же обратить: каждому параллелепипеду указанного вида, описанному около эллипсоида, соответствует некоторый куб, описанный около сферы, ибо трем взаимно сопряженным диаметрам эллипсоида соответствуют три взаимно перпендикулярных диаметра сферы.

Но нам известно, что при аффинном преобразовании каждый объем умножается на определитель подстановки; поэтому для объема всякого параллелепипеда указанного вида, описанного около эллипсоида, имеет место формула

Она не зависит, очевидно, от того, как расположен наш параллелепипед; он имеет, таким образом, всегда один и тот же постоянный объем независимо от того, к какой тройке сопряженных диаметров он отнесен. В частности, для тройки главных осей, образующих друг с другом прямые углы, получаем прямоугольный параллелепипед, объем которого, очевидно, равен если — длины главных осей. Этим мы определили указанный постоянный объем, после чего наша теорема гласит окончательно: все параллелепипеды, описанные около эллипсоида, грани которых параллельны трем взаимно сопряженным диаметральным плоскостям, имеют один и тот же объем где а, b, с — длины главных полуосей.

Для доказательства приложимости этой теоремы ко всякому элипсоиду остается еще уяснить себе, что всякий эллипсоид можно получить из сферы путем некоторого аффинного преобразования. Но это сразу получается из вида (6) уравнений аффинного преобразования; из этих уравнений видно, что оси эллипсоида, полученного из сферы, относятся, как причем к, — три произвольных числа.

Ограничиваясь этим маленьким примером применений аффинных преобразований в теоретической геометрии, я желаю с тем большей силой подчеркнуть, что аффинные преобразования имеют колоссальное значение также и на практике.

Обращаясь прежде всего к потребностям физиков, упомяну, что аффинные преобразования играют основную роль в геории упругости, в гидродинамике, вообще в каждой отрасли механики непрерывных сред. Конечно, мне вряд ли следует объяснять это подробнее» Кто хоть немного занимался этими дисциплинами, тот достаточно хорошо знает, что там всякий раз, когда ограничиваются изучением достаточно малых элементов пространства, приходится иметь дело, с однородными линейными деформациями.