Центральное проектирование пространства на плоскость (проективное отображение с равным нулю определителем).

Теперь я хотел бы еще поговорить, так же как и раньше при аффинных отображениях, о применениях проективных преобразований.

1) Я начну с указаний, относящихся к начертательной геометрии; здесь я могу лишь, оставляя в стороне всякую систематику, привести несколько характерных примеров.

а) Первым примером будет отображение пространства на плоскость посредством центральной перспективы, которая является прямым обобщением аксонометрии (параллельной перспективы); здесь проектирующие прямые не исходят из бесконечно удаленной точки, а проходят через произвольную конечную точку.

Центр проекций мы поместим как раз в начало координат О, а за картинную плоскость примем плоскость (рис. 66).

Рис. 66

Тогда для изображения любой точки будет во всяком случае

а поскольку лежат на одной и той же прямой, проходящей через О, то

Поэтому уравнения нашего отображения имеют вид

Это отображение является, следовательно, частным случаем проективного преобразования, а аналогия с соответствующими соотношениями при аксонометрии заставляет нас предположить, что оно имеет равный нулю определитель. В самом деле, переходя к однородным координатам, получаем преобразование

с определителем

Отдельные свойства этого преобразования вы легко сможете вывести по аналогии с приведенными выше рассуждениями, если только будете иметь в виду, что каждая плоскость, вообще говоря, связана с картинной плоскостью некоторым проективным (двумерным) соответствием с не равным нулю определителем. Отсюда, в частности, следует, что, например, двойное отношение любых четырех точек на одной прямой или четырех лучей, проходящих через одну точку, остается при этом преобразовании неизменным.