О построении проективной геометрии с последующим присоединением к ней метрической.
Намеченную в общих чертах программу можно осуществить различными путями в зависимости от того, какие именно основные понятия и аксиомы желают выдвинуть на первое место. Часто практикуется — и это представляет известные удобства — ставить во главу всего исследования основные понятия проективной геометрии, а именно, точку, прямую и плоскость, которые мы уже раньше (с. 91-92) выдвинули в такой роли. При этом отнюдь не требуется давать определение того, что это за вещи, — это каждый должен знать заранее сам; должно быть лишь указано столько характерных для них свойств и взаимных соотношений, чтобы из них можно было вывести (в уточненном выше смысле) всю геометрию. Я не собираюсь перечислять здесь перед вами полностью отдельные сюда относящиеся аксиомы — это завело бы нас слишком далеко в сторону в этом нашем энциклопедическом курсе, а дам лишь настолько полную характеристику их содержания, чтобы вы получили о них ясное представление.
На первом месте стоят аксиомы соединения, которые я уже (с. 91) изложил для проективной геометрии. Однако здесь мы не требуем с самого начала, как это делали там, не допускающего исключений существования точки пересечения всяких двух прямых, лежащих в одной плоскости, или прямой пересечения всяких двух плоскостей, но в соответствии с непосредственными соотношениями метрической и аффинной геометрии ограничиваемся тем положением, что две прямые на плоскости либо имеют одну общую точку, либо не имеют таковой вовсе и что две плоскости либо имеют общую прямую, либо не имеют ни одной общей точки.
После этого всегда остается еще возможность перейти известным образом путем дополнительного присоединения «несобственных» точек, прямых и плоскостей к полной системе проективной геометрии.
Далее идут аксиомы расположения; они описывают, какое взаимное положение могут занимать на плоскости и на прямой различные точки; например, из трех точек а, b, с на одной прямой всегда одна какая-нибудь, например b, лежит между двумя другими а и с и т. д.; эти аксиомы называют также аксиомами понятия «между» (рис. 103).
Рис. 103
Наконец, что касается свойств непрерывности, то здесь я отмечу пока лишь отсутствие пробелов у прямой: если отрезок между двумя точками а, b разделить как-либо на две части 1, 2 таким образом, чтобы (если а лежит слева от b) все точки части 1 лежали слева от всех точек части 2, то всегда найдется такая точка с, которая вызывает это именно деление в том смысле, что между а и с лежат точки части 1, а между с и b — точки частиц 2. Это, очевидно, вполне соответствует введению иррациональных чисел при помощи дедекиндовых сечений.
Из этих аксиом действительно можно вывести всю проективную геометрию пространства при помощи логической дедукции; в частности, конечно, можно ввести координаты и перейти к аналитической трактовке проективной геометрии.
Чтобы перейти затем к метрической геометрии, надо прежде всего принять во внимание, что вместе с проективной геометрией мы получаем также понятие группы 
коллинеаций, или проективных преобразований пространства. Мы уже знаем, как можно охарактеризовать в качестве ее подгруппы 
-параметрическую главную группу пространственных преобразований — ту группу, теорией инвариантов которой и является метрическая геометрия: эта группа состоит из тех коллинеаций, при которых некоторая плоскость, а именно бесконечно удаленная плоскость, и на ней некоторая кривая второго порядка, а именно окружность сфер (или соответственно изображающая ее абсолютная полярная система), остаются без изменения.
Приходится сделать еще один шаг дальше, если желательно получить в точности теоремы элементарной геометрии. Для этого должно выделить из главной группы 
-параметрическую подгруппу собственных движений (порожденную параллельными переносами и поворотами), которые в противоположность преобразованиям подобия оставляют неизменным расстояние между двумя точками и потому имеют своей теорией инвариантов метрическую геометрию конгруэнтности (равенства при наложении). Эти движения можно выделить из главной группы, например, с помощью требования, чтобы все траектории любого движения были замкнуты, если только оно оставляет неподвижной какую-нибудь точку.
Намеченное в таком виде построение геометрии является, пожалуй, теоретически самым простым, так как оно оперирует вначале (для проективной геометрии) исключительно линейными образами и лишь в дальнейшем, когда это становится необходимым для метрической геометрии, привлекает квадратичный образ — окружность сфер. Но зато осуществление этого плана оказывается довольно абстрактным и длинным и может найти место только в специальном курсе лекций по проективной геометрии.
Для целей общего преподавания мне представляется более подходящим другое построение геометрии, к которому я теперь и обращаюсь, ограничиваясь ради простоты геометрией на плоскости.
