Проективная геометрия и принцип двойственности.

В. Закончим на этом наш экскурс и рассмотрим, продолжая следовать историческому развитию, мощный импульс, полученный геометрическими исследованиями, начиная с 1800 г., когда на передний план выступила так называемая новая геометрия. В настоящее время мы охотнее называем ее проективной геометрией, так как в ней главную роль играет операция проектирования, — нам придется позже подробнее о ней говорить. Хотя и в настоящее время часто еще употребляют название «новая», но это, собственно говоря, неуместно, ибо с того времени много раз появлялись другие все более «новые» тенденции. В качестве одного из первых новаторов я должен здесь назвать Понселе, который в 1822 г. опубликовал свой «Трактат о проективных свойствах фигур».

В дальнейшем развитии проективной геометрии с самого начала играло роль различие между синтетическим и аналитическим направлениями, в качестве представителей первого направления я назову немецких исследователей Штейнера и Штаудта, в качестве представителей второго — наряду с Мёбиусом, прежде всего, Плюккера. Основные произведения этих геометров еще и теперь не утратили своего живого влияния, это — «Систематическое развитие взаимной зависимости геометрических образов» Штейнера, «Геометрия положения» Штаудта, «Барицентрическое исчисление» Мёбиуса (см. сноску на с. 29) и, наконец, «Аналитико-геометрические исследования» Плюккера.

Чтобы отметить важнейшие руководящие идеи этой «новой» геометрии, я в первую очередь остановлюсь на следующем.

1) Главная заслуга Понселе состоит в том, что он первый высказал ту мысль, что для точки существуют равноценные образы, а именно на плоскости точке

Это — выражение принципа двойственности.

Рис. 48

Понселе примыкает в развитии своих идей к теории поляр конических сечений (теория взаимных поляр). По отношению к определенному коническому сечению каждой точке принадлежит (соответствует), как известно, некоторая прямая в качестве ее поляры; последнюю можно определить, например, как прямую, соединяющую точки касания двух касательных к этому коническому сечению, проведенных из точки (если, как на рис. 48, p лежит вне кривой). Наоборот, каждой прямой я принадлежит некоторый полюс , причем имеет место «закон взаимности»: поляра любой точки , лежащей на прямой , проходит через . Из этого осуществляемого при помощи конического сечения частного случая соответствия между прямыми и точками на плоскости, а также из аналогичного соотношения между точками и плоскостями в пространстве по отношению к какой-нибудь поверхности второго порядка Понселе заключил, что все предложения геометрии, которые относятся только к свойствам положения, к взаимной принадлежности (или «встрече») точек, прямых и плоскостей, могут быть «дуализированы» указанным выше способом. Знаменитый пример дает теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, которая при «дуализировании» (т. е. применении принципа двойственности) переходит в теорему Брианшона о шестистороннике из касательных, описанном около этого же конического сечения.

2) Впоследствии очень скоро пришли к более глубокому пониманию принципа двойственности. Его отделили от теории поляр и стали рассматривать как источник всего своеобразного построения проективной геометрии.

Эта прекрасная систематика впервые появляется у Жергона и Штейнера. Рекомендую вам прочесть хотя бы в предисловии к «Систематическому развитию взаимной зависимости геометрических образов» Штейнера то место, где он в восторженных выражениях рисует картину того, как проективная геометрия впервые вносит порядок в хаос геометрических предложений и как в ней все размещается совершенно естественным образом.

На протяжении нашего курса нам еще часто придется говорить об этой систематике, но уже теперь я хотел бы дать краткий обзор ее. При этом принцип двойственности будет проявляться в том, что точка и плоскость — или соответственно (если ограничиваться плоскостью) точка и прямая — входят в основные понятия и предложения («аксиомы») геометрии всегда совершенно симметрично, т. е. что эти аксиомы, а значит, и логически выводимые из них предложения всегда попарно двойственны. Так называемые «метрические соотношения» элементарной геометрии (как, например, расстояние, угол и т. д.) вначале совсем не входят в эту систематику; позже мы увидим, как они могут быть дополнительно включены в нее. Более детально это построение выглядит гак:

a) В основу кладутся три рода образов в качестве простейших: точка, (неограниченная) прямая, (неограниченная) плоскость.

b) Между этими основными образами имеют место следующие соотношения (называемые аксиомами соединения), не допускающая исключений значимость которых достигается искусным введением несобственных (бесконечно удаленных) элементов, которое впоследствии будет разъяснено более подробно: 2 точки определяют прямую; 3 точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость; 2 плоскости определяют прямую плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют точку.

c) Теперь образуем основные линейные образы (т. е. такие, которые аналитически определяются линейными уравнениями).

I. Основные образы 1-й ступени, каждый из которых содержит элементов.

а) Совокупность всех точек одной прямой: прямолинейный ряд точек.

) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну прямую: пучок плоскостей.

у) Все прямые на плоскости, проходящие через одну точку: (плоский) пучок прямых.

II. Основные образы 2-й ступени, каждый из которых содержит элементов.

а) Плоскость как геометрическое место ее точек: поле (плоская система) точек.

а) Плоскость как геометрическое место ее прямых: поле (плоская система) прямых.

Р) Плоскости, проходящие через одну неподвижную точку: связка плоскостей.

Р) Прямые, проходящие через одну неподвижную точку: связка прямых.

III. Основные образы 3-й ступени из элементов каждый:

а) Пространство как место его точек: пространство (пространственная система) точек.

Р) Пространство как место его плоскостей: пространство (пространственная система) плоскостей.

Во всем этом построении действительно всюду отчетливо выступает полная двойственность; исходя из данных таким образом оснований, можно возвести все здание проективной геометрии двумя способами, находящимися в отношении взаимности друг к другу: при одном способе берем за исходный материал точки, при другом — прямые, если речь идет о геометрии на плоскости, или плоскости, если мы занимаемся геометрией в пространстве.