Односторонние многогранные поверхности.

Желая теперь и в общем случае представить многогранник в виде суммы таких составляющих его пирамид, мы должны для каждой грани установить определенное направление обхода. Согласно предыдущему при этом мы можем руководствоваться только правилом ребер, а именно: для какого-нибудь одного многоугольника фиксируем направление обхода произвольным образом, а остальные многоугольники будем обходить так, чтобы пройти по каждому ребру, общему двум соседним граням, в двух противоположных направлениях.

Рис. 27

Если удается применить это правило ко всем граням поверхности, не наталкиваясь на противоречия, то получаем объем многогранника в виде суммы объемов отдельных пирамид, имеющих общей вершиной О, а основаниями грани многоугольника, с установленным таким образом направлением обхода; нетрудно видеть, что получаемый результат однозначен и не зависит от положения точки О. Однако имеет место тот крайне удивительный факт, что правило ребер не для всякой замкнутой многогранной поверхности удается провести без противоречий.

Другими словами, существуют многогранники, к которым оказывается неприложимым никакое определенное правило знаков и которым поэтому никоим образом нельзя приписать определенного объема. В этом и состоит великое открытие, опубликованное Мёбиусом в 1865 г.

В упомянутой работе Мёбиус рассматривает поверхность, названную позже листом Мёбиуса, получаемую следующим образом.

Вырезанный из бумаги длинный узкий прямоугольник (рис. 27) перекручивают один раз и скрепляют (склеивают) узкие его стороны так, чтобы точка совпала с (а не наоборот); при этом передняя (обращенная к нам) сторона листа переходит, очевидно, в заднюю (изнаночную), так что получается поверхность с одной только стороной.

Отсюда вытекает такой немного вульгарный вывод: маляр, покрывая весь этот лист краской, должен был бы затратить этой краски вдвое больше, чем он мог бы предположить, исходя из длины первоначального листа: выкрасив лист один раз по всей его длине, маляр подойдет к первоначальному месту, но с противоположной стороны и должен будет еще раз пройти кистью по всему листу прежде, чем вернется к действительному исходному пункту.

Вместо этого изогнутого листа можно также получить многогранную (незамкнутую) поверхность с исключительно плоскими частями, имеющую такое же свойство; для этого нужно разбить прямоугольник, например, на треугольники и перегнуть его по линиям деления. Чтобы получить такой пояс из треугольников, нужно иметь по меньшей мере пять треугольников, которые следует расположить так, как указано на рис. 28.

Рис. 28

При этом крайние полутреугольники при свертывании поверхности дают один треугольник (4, 5, 1). Для полученного пояса из треугольников уже нельзя будет воспользоваться правилом ребер. В самом деле, исходя из положительного направления обхода и продолжая его влево по правилу ребер, получим последовательно обходы (3, 2, 4), (3, 4, 5), (5, 4, 1), (5, 1,2). В последнем из них ребро 1, 2 проходится в том же направлении, что и в исходном треугольнике (1, 2, 3), а это противоречит правилу ребер.

Будучи перегнут вдоль ребер и сложен, лист, рассматриваемый сверху, имеет вид пятиугольной фигуры, диагоналями которой служат пять отрезков 1 3, 3 5, 5 2, 2 4, 4 1, составляющие край листа Мёбиуса, как показано на эскизе (рис. 29). Соединяя свободные ребра этого пояса, т. е. упомянутые пять диагоналей, треугольниками с какой-либо точкой пространства О (лучше всего расположенной над центром пятиугольника), Мёбиус получает замкнутый многогранник, а именно, перекрученную пятигранную пирамиду.

Конечно, к этому замкнутому многограннику, образованному 10 треугольниками, лравило ребер тоже неприменимо, а потому не приходится говорить о его объеме.

Еще один замкнутый односторонний многогранник очень простого строения мы можем легко получить из октаэдра (рис. 30) следующим образом.

Рис. 29

Рис. 30

Из граней октаэдра выбирают какие-либо четыре, которые, не будучи соседними, т. е. не имея общих ребер, имеют попарно по общей вершине (например, AED, ЕВС, CFD, ABF), и присоединяют к ним три квадрата ABCD, EBFD, AECF, лежащих в диагональных плоскостях.

Получаемый таким образом «гептаэдр» (семигранник) имеет те же ребра, что и наш октаэдр, ибо в каждом ребре последнего, как непосредственно видно, встречаются по две соседних грани гептаэдра (а именно, каждый раз боковая грань с диагональным квадратом октаэдра).

Но диагонали октаэдра нельзя рассматривать как ребра гептаэдра, ибо для последнего диагональные квадраты октаэдра не являются соседними гранями; напротив, вдоль диагоналей AC, BD, EF наша многогранная поверхность пересекает себя. Доказательство односторонности этого гептаэдра тоже легко получается при помощи правила ребер.

А именно, если в последовательности граней AED, EDFB, ЕСВ, ABCD задать как-либо для первой из них направление обхода и определить направление обхода для следующих граней соответственно правилу ребер, то окажется, что ребро AD будет пройдено дважды в одном и том же направлении.

На этом я заканчиваю изучение длин, площадей и объемов и перехожу к рассмотрению дальнейших элементарных геометрических величин.

Если до сих пор нами руководило имя Мёбиуса, то теперь мы примкнем к идеям великого геометра Германа Грассмана из Штеттина, которые были им впервые изложены в 1844 г. в его книге «Учение о линейном протяжении». Эта книга, как и книга Мёбиуса, чрезвычайно богата идеями, но в противоположность последней написана так неясно, таким необыкновенно темным языком, что в продолжение десятилетий оставалась без внимания и непонятой; только тогда, когда пришли другим путем к подобным же идеям, обратили внимание на их наличие в книге Грассмана. Чтобы получить представление о его абстрактном языке, достаточно рассмотреть заголовки введения к этой книге. Вот они: «Вывод понятия чистой математики», «Вывод понятия учения о протяжении», «Изложение понятия учения о протяжении», далее следует еще «Обзор общего учения о формах». Лишь после того, как читатель осилил все эти общие «изложения», он подходит ко все еще очень трудно понимаемому, чисто отвлеченному изложению основного содержания книги. Лишь позже, в 1862 г., в новой обработке своего «Учения о протяжении» Грассман пользуется немного более легким для понимания аналитическим изложением с помощью координат.

Самое название «Учение о протяжении» придумано было Грассманом для того, чтобы отметить, что его исследования относятся к любому числу измерений. «Геометрия» же для него является лишь применением этой новой совершенно абстрактной дисциплины к обыкновенному пространству трех измерений.

Однако это новое название не привилось в настоящее время говорят просто о -мерной геометрии, (или геометрии измерений).

Мы познакомимся с идеями Грассмана, пользуясь привычной для нас аналитической формой изложения в координатах. Ограничимся на первое время геометрией на плоскости.