Систематика теории инвариантов.

3) Что касается объектов теории инвариантов, то можно различать две стадии в постановке вопроса. Во-первых, пусть даны любые отдельные системы значений переменных

имея в виду геометрические приложения, мы можем уже теперь обозначать их просто как точки Каждую из этих систем значений в отдельности подвергаем подстановкам группы (1); вопрос сводится к тому чтобы образовать такие комбинации наших систем значений, которые оставались бы инвариантными при этих одновременных подстановках.

4) Вторая стадия в постановке вопроса имеет дело наряду с такими точками также и с функциями переменных, а именно, в первую очередь с целыми рациональными функциями, при этом можно ограничиться однородными целыми рациональными функциями — в теории инвариантов их называют формами, — так как члены одинакового измерения и без того переходят друг в друга по причине однородности подстановок.

Таким образом, нам придется рассматривать сначала линейные формы:

затем квадратичные формы

и т. д. Нам придется также рассматривать одновременно несколько форм одного и того же измерения, различая их при помощи индексов, например:

Исходным пунктом могут служить также формы со многими рядами переменных, например билинейные формы

Для выяснения возникающей здесь общей проблемы мы должны сначала разобраться в том, как преобразуются коэффициенты этих форм, если переменные подвергаются подстановкам группы (1), а значение формы или соответственно f остается неизменным.

Рассмотрим сначала линейную форму, полагая

Если ввести выражения (1) для то должно иметь место такое тождество относительно переменных

Отсюда находим

Таким образом, новые коэффициенты а, b линейной формы связаны со старыми коэффициентами а, в свою очередь линейною подстановкою, получаемою из (1) следующим простым образом: переставляем вертикальные и горизонтальные ряды в схеме коэффициентов («транспонируем» подстановку) и, кроме того, меняем местами старые величины (не имеющие штрихов) и новые (со штрихами). Получаемую таким образом подстановку называют контрагредиентной по отношению к первоначальной подстановке (1) и говорят для краткости, что коэффициенты линейной формы преобразуются контрагредиентным образом по сравнению с переменными . Ранее рассмотренные ряды переменных которые подлежат все вместе каждый раз одному и тому же преобразованию (1), в аналогичной терминологии носят название когредиентных переменных.

Переходя к квадратичной форме f, сообразим прежде всего, как ведут себя при линейной подстановке входящие в нее. члены второго измерения на основании (1) сразу же находим для членов второго измерения с новыми переменными такие выражения:

Это мы можем выразить в такой форме: члены второго измерения относительно переменных испытывают одновременно с ними однородную линейную подстановку, получаемую непосредственно из (1). Но f является линейной формой этих квадратичных членов, так что, повторяя в точности прежние рассуждения, мы видим, что коэффициенты к, преобразовываются линейно-однородно, а именно, контрагредиентно по отношению к подстановке (3) членов другими словами, уравнения, содержащие , получаются из (3) точно так же, как уризнения (2) из (1).

5) Теперь мы можем сформулировать общую проблему теории инвариантов. Если задан какой-либо ряд точек а также ряд линейных, квадратичных либо высших форм то под инвариантом понимают такую функцию координат и коэффициентов которая остается без изменения при линейных подстановках переменных (1) и при соответственных только что определенных подстановках систем коэффициентов. Требуется изучить совокупность всех вообще возможных инвариантов.

В литературе встречаются также при случае слова: ковариант и контравариант для обозначения особых видов образований, обозначаемых здесь общим названием инвариантов. А именно, если в инвариантное выражение входят сами ряды переменных то говорят о ковариантах; если же в него входят коэффициенты линейных форм то употребляют термин контравариант. Слово же инвариант употребляют тогда в применении к таким выражениям, которые не содержат ни координат ни коэффициентов и составлены исключительно из коэффициентов квадратичных или высших форм. Выделение и противопоставление первых двух случаев объясняется тем, что ряды переменных , с одной стороны, и с другой стороны, обнаруживают до известной степени взаимно обратное поведение: когда одни из них подвергаются некоторой линейной подстановке, другие испытывают как раз контрагредиентную подстановку независимо от того, какой ряд переменных является исходным. Таким образом, из каждого инвариантного образования, составленного из величин одного рода, можно при помощи подходящего преобразования получить такое же образование из величин другого рода. В геометрическом истолковашш это дает, очевидно, принцип двойственности, так как а, 6 становятся однородными линейными или соответственно плоскостными координатами, если рассматривать как точечные координаты. Впрочем, различение того, входят или не входят системы значений или соответственно значений в те выражения, которые надо рассмотреть, конечно, совершенно лишено основного значения; лоэтому в дальнейшем мы будем употреблять слово «инвариант» в более широком смысле.

6) Теперь я попытаюсь более четко очертить в другом направлении это понятие инварианта, чтобы сделать возможным аккуратное построение теории. В дальнейшем мы будем рассматривать в качестве инвариантов только рациональные функции координат и коэффициентов, которые сверх того являются однородными относительно координат каждой отдельной входящей в них точки и относительно коэффициентов каждой отдельной входящей в них формы. Каждую такую рациональную функцию мы можем представить в виде частного двух целых рациональных однородных функций, которые мы будем исследовать каждую в отдельности. Так как общий множитель числителя и знаменателя не меняет величины частного, то числитель и знаменатель, конечно, не обязаны непременно быть инвариантами в том смысле, в каком мы до сих пор понимали этот термин, но могут при каждой линейной подстановке приобретать какой-либо множитель.

Можно показать, что этот множитель зависит исключительно от коэффициентов подстановки и является всегда некоторой степенью определителя подстановки

Таким путем мы приходим в конце концов к рассмотрению таких целых рациональных однородных функций данных рядов величин, которые при установленных выше линейных подстановках переменных и. коэффициентов умножаются на некоторую степень определителя подстановки. Их называют относительными инвариантами, так как они испытывают лишь несущественные изменения, а в случае подстановок, для которых и вовсе не изменяются. Показатель Я носит название веса инварианта. В противоположность этому то, что мы до сих пор называли просто инвариантом, называют абсолютным инвариантом, таким образом, каждый абсолютный инвариант равен частному двух относительных инвариантов одинакового веса.

7) Это действительно дает нам руководящую точку зрения для систематизации теории инвариантов. Простейшими относительными инвариантами явятся те, которые представляют собой многочлены наиболее низкой степени относительно данных рядов величин; исходя из них, переходят к инвариантам более высокой степени. Если представляют собой какие-либо относительные инварианты, то всякое произведение их степеней оказывается тоже относительным инвариантом; ведь если получает при подстановке множитель — множитель , то воспроизводится с точностью до множителя Составляя сумму таких членов, умноженных, кроме того, на некоторые постоянные множители:

и следя при этом за тем, чтобы отдельные слагаемые умножались всегда на одну и ту же степень определителя , т. е. за тем, чтобы все они имели равный вес или — как говорят — были «изобаричными», получаем, очевидно, снова относительный инвариант более высокой степени, так как общий множитель отдельных членов просто выходит за знак суммы.

Центральной проблемой теории инвариантов является, конечно, вопрое, можно ли таким образом всегда получить все инварианты: что является в каждом определенном случае полной системой наинизших инвариантов, из которых могут быть построены указанным целым и рациональным способом все относительные инварианты? И вот основная теорема состоит в том, что каждому конечному числу заданных величин всегда соответствует подобная конечная «полная система инвариантов», т. е. конечное число инвариантов, из которых все прочие составляются целым рациональным образом.

Этими окончательными результатами систематической теории инвариантов мы обязаны немецким исследователям, а именно, Гордану и Гильберту (работа которого опубликована в 1890 г.).

Примеры. Теперь я хотел бы изложенные абстрактные идеи разъяснить несколько конкретнее простых примерах, которые нам пригодятся вслед за этим в геометрии, причем я и тут, конечно, буду больше реферировать, чем доказывать.

1) Допустим сначала, что в бинарной области задано некоторое число точек

В таком случае имеет место такая интересная теорема: простейшие инварианты получаются с помощью определителей второго порядка, которые можно составить из этих координат, и эти определители образуют в то же время полную систему инвариантов.

Из двух точек 1, 2 мы можем составить один определитель второго порядка

Он действительно представляет собой целую рациональную функцию переменных, однородную как относительно так и относительно . В его инвариантной природе мы убедимся сразу, если вычислим его, пользуясь теоремой умножения определителей:

так что, действительно, мы имеем дело с инвариантом веса I. Подобным же образом точек дают в общем инвариантов веса 1:

мы зашли бы, конечно, слишком далеко, если бы стали доказывать здесь, что эти определители образуют полную систему инвариантов, т. е. что каждый относительный инвариант точек может быть представлен в виде суммы изобаричных членов:

Из этих относительных инвариантов получаются самые общие рациональные абсолютные инварианты в виде частных числителя и знаменателя, имеющих одинаковый вес; таким образом, простым примером абсолютного инварианта было бы частное

Я хотел бы на этом примере разъяснить еще одно более тонкое понятие, играющее в теории инвариантов большую роль, а именно, понятие сизигий (т. е. «связываний» или соотношений инвариантов); А именно, может случиться, что некоторые из упомянутых агрегатов, составленных из основных инвариантов, тождественно обращаются в нуль; так, например, в случае четырех точек

что сводится попросту к известному тождеству из теории определителей, которым к тому же нам уже случалось воспользоваться. Подобное тождество, связывающее инварианты полной системы, и называется сизигией. Имея несколько таких сизигий, можно путем сложения и умножения получать из них новые; можно, как и в случае самих инвариантов, поставить вопрос о полной системе сизигий, из которых все прочие могут быть построены указанным образом. Теория показывает, что всегда существует конечная система сизигий подобного рода. Так, например, в случае четырех точек эта полная система состоит из одного только вышенаписанного уравнения, т. е. все тождества, связывающие шесть определителей являются следствиями этого одного тождества; в случае большего числа точек такая система состоит из всех уравнений такого же типа.

Разумеется, знание этих сизигий имеет фундаментальное значение для знания всей системы инвариантов, ибо в том случае, когда два изобаричные агрегата простейших инвариантов отличаются один от другого членами, имеющими множителем левую часть какой-нибудь сизигии, эти агрегаты тождественны, и нам незачем перечислять их дважды.

2) Если заданы отдельные точки в троичной либо в четверичной области, то строим совершенно таким же образом полные системы инвариантов посредством определителей третьего и четвертого порядка, составленных из их координат; например, в троичной области фундаментальный инвариант трех точек снова имеет вес 1:

Предлагаю вам самим продумать, в каком виде представляется здесь все прочее, в частности отыскание сизигий.

3) Перейдем теперь сразу же к рассмотрению квадратичной формы, например, в четверичной области:

Мы можем, прежде всего, составить инвариант, зависящий только от 10 коэффициентов А, К, а именно, определитель

Так как преобразуются контрагредиентно по сравнению с членами, квадратичными относительно , то легко можно убедиться в том, что вес этого инварианта равен —2:

Полная система инвариантов, составленных исключительно из коэффициентов формы, состоит из одного только этого , т. е. всякий целый рациональный инвариант, содержащий лишь , является кратным некоторой степени .

Если же к коэффициентам формы присоединить координаты какой-либо точки, то сама форма f оказывается простейшим общим инвариант том, или, согласно упомянутой выше терминологии, ковариантом, так как само определение преобразований коэффициентов было основано на требовании ее инвариантности, и, вообще, всякая заданная форма является, очевидно, своим же собственным ковариантом. Она вовсе не изменяется при наших подстановках в силу самого их определения, представляя собой, следовательно, инвариант веса О, или абсолютный инвариант. В случае двух точек гг в качестве нового коварианта появляется так называемая полярная форма

вес которой снова равен нулю, т. е. опять-таки представляющая собой абсолютный инвариант.

Наконец, рассматривая одновременно с f еще какую-нибудь линейную форму т. е. совокупность ее коэффициентов , получаем следующий совместный инвариант веса — 2, который возникает из определителя с помощью «окаймления» его элементами а, 8:

Согласно сказанному ранее его можно назвать также контравариантом. Как известно, этот определитель играет большую роль в аналитической геометрии в тех случаях, когда хотят поверхность второго порядка представить в плоскостных координатах; как видите, в этом случае в основе лежит чисто аналитический процесс образования инвариантов.

Точно так же в случае двух линейных форм с коэффициентами можно посредством «двукратного окаймления» того же самого определителя образовать еще один инвариант:

который тоже имеет вес —2.

Этих немногих указаний достаточно для того, чтобы позволить вам заглянуть в грандиозную область теории инвариантов. Эта теория развилась в необычайно широкое учение, в которой особенно много остроумия затрачено на отыскание приемов, позволяющих при произвольно заданных основных формах составить полную систему инвариантов и сизигий.

Сделаю еще одно только замечание общего характера по этому поводу. В наших примерах мы всегда создавали инварианты путем образования определителей; таким образом, вообще теория определителей всегда оказывается основой теории инвариантов. Такое положение дел побудило Кэли первоначально дать инвариантам название «гипердетерминантов» ,(сверхопределителей). Лишь позже Сильвестр ввел слово «инвариант». Представляется крайне интересным поставить такой вопрос: насколько важной следует считать в рамках всей математики какую-нибудь отдельную ее главу, например теорию определителей? Кэли сказал как-то в разговоре со мною, что в случае, если бы ему пришлось прочесть 15 лекций по всей математике, то одну лекцию он посвятил бы определителям. Подумайте, можете ли и вы на основании вашего опыта дать такую же оценку теории определителей! Я лично в моих обычных элементарных курсах из педагогических соображений все более и более оттесняю теорию определителей; я слишком часто наблюдал, что студенты вполне свыкаются с матрицами и научаются сокращать с их помощью очень целесообразным образом длинные выражения, но что для них очень часто значение этих матриц отнюдь не бывает ясно и что привычка к ним скорее даже мешает им вникнуть во все детали предмета вплоть до полного овладения им.

Но, разумеется, при рассуждениях общего характера и, в частности, здесь в теории инвариантов мы никак не можем обойтись без определителей.

Теперь, наконец, мы подошли к нашей настоящей цели — с помощью предшествующих рассмотрений получить систематизацию геометрии.