«Архимедова аксиома» у Евклида; отступление о «роговидных углах» как о неархимедовой системе.

Подвергнув критике существенные недостатки в изложении Евклида, я хочу, с другой стороны, подчеркнуть также одну из наибольших его тонкостей, которая так же ускользала от внимания большинства вышеупомянутых воодушевленных приверженцев Евклида, как и его ошибки:

Я уже указывал, что в 5-й книге рассматривается отношение (Хоуоо) любых двух геометрических величин а, b, которое дает эквивалент общего понятия числа. Но при этом Евклид четко формулирует, что он будет говорить об отношении двух однородных геометрических величин а, b только при одном определенном условии: а именно, только в том случае, если можно определить два целых числа таким образом, чтобы было Вот его слова: «Величины имеют отношение одна к другой, если кратное каждой из них может превзойти другую величину». Теперь, это требование называют аксиомой Архимеда, хотя это название исторически совершенно неправильно, так как им владел уже задолго до Архимеда Евклид и, вероятно, даже еще раньше Евклида Евдокс. В последнее время все чаще употребляется также название аксиома Евдокса.

Эта архимедова аксиома играет в современных исследованиях по основаниям как геометрии, так и арифметики большую роль как один из важнейших постулатов непрерывности. Соответственно этому и мы уже несколько раз касались ее в нашем собственном изложении. В частности, вы сразу поймете, что тот постулат нашего первого построения геометрии, согласно которому точки, получаемые из, при повторении некоторого параллельного переноса, оставляют позади себя всякую точку полупрямой (с. 249), по существу вполне совпадает с архимедовой аксиомой. Но уже в первой части нашего курса мы тоже подробно говорили об этой аксиоме. Там мы назвали величину а, которая по умножении на любое конечное число всегда остается меньше b, актуально бесконечно малой по отношению к b или, наоборот, b актуально бесконечно большой по отношению к а Таким образом, Евклид посредством своего требования исключает системы геометрических величин, которые содержат актуально бесконечно малые или бесконечно большие элементы. Исключение подобных систем является действительно необходимым, если хотят обосновать учение о пропорциях, которое ведь в итоге является, как уже часто отмечалось, не чем иным, как другой формой современной теории иррациональных чисел.

Так что в данном случае Евклид (или, пожалуй, уже и Евдокс) поступает в основном так же — и это как раз и поразительно, — как поступают в современных исследованиях понятия числа, и при этом Евклид пользуется в точности теми самыми вспомогательными средствами, которыми пользуемся и мы теперь.

Мы лучше всего поймем значение аксиомы, о которой здесь идет речь, если рассмотрим одну совершенно конкретную, не удовлетворяющую ей систему геометрических величин, которая особенно интересна еще и потому, что она уже в древности и в средние века была хорошо известна и вызывала много споров. Я имею здесь в виду так называемые роговидные углы, т. е. углы между кривыми, понимаемые в известном расширенном смысле.

Рис. 137

Когда мы говорим теперь об углах, то всегда представляем себе углы между прямыми линиями и, в частности, понимаем под углом между двумя кривыми не что иное, как угол между их касательными (рис. 137); поэтому угол между кривой (например, окружностью) и касательной к ней при таком понимании всегда равен нулю. При таком понимании все углы образуют, как известно, обыкновенную «архимедову» систему величин, в которой можно применять евклидову теорию пропорций и которые поэтому, говоря другими словами, можно измерять при помощи простого линейного ряда действительных чисел.

В противоположность этому под роговидным углом между двумя кривыми понимают (рис. 138) часть плоскости, заключенную между самими кривыми вблизи точки их пересечения (или касания).

Как мы сейчас увидим, это определение приводит к неархимедову, т. е. не удовлетворяющему аксиоме Архимеда, понятию величины. Ограничимся при этом углами, одной из сторон которых является некоторая неподвижная прямая (ось ) и общей вершиной которых служит начало координат О; другой же стороной пусть будет окружность (или также при известных обстоятельствах прямая), которая в точке О пересекает ось или касается ее (рис. 139).

Рис. 138

Рис. 139

Тогда будет вполне естественным из двух роговидных углов назвать меньшим тот, свободная (т. е. отличная от ) сторона которого при приближении к О в конце концов проходит подш) свободной стороной другого, т. е. тот угол, который при этом в конце концов ограничивает более узкую часть плоскости. Поэтому, например, угол, образуемый касающеюся окружностью, всегда будет меньше, чем угол, образуемый (с осью ) пересекающейся окружностью или прямой, а из двух окружностей, касающихся оси в точке О, окружность большего радиуса образует, меньший угол, так как она проходит под первой. Ясно, что этим вполне определяется, какой из любых двух роговидных углов рассматриваемого типа меньше и какой больше. Совокупность всех роговидных углов (имеющих одной из своих сторон) оказывается, как теперь говорят, просто (или линейно) упорядоченным множеством аналогично совокупности всех обыкновенных действительных чисел.

Но чтобы обнаружить характерное различие между этими двумя множествами, мы должны дать более, точные указания относительно измерения роговидных углов.

Во-первых, будем измерять угол, образуемый (с осью ) прямой, проходящей через О, в обыкновенной угловой мере; тогда каждый угол а, образуемый какую-нибудь окружностью, касающеюся оси будет по определению меньше любого сколь угодно малого (отличного от нуля) прямолинейного угла и уже это не может иметь места в обыкновенном числовом континууме ни для какого а, отличного от нуля, и характеризует а как «актуально бесконечно малую».

Чтобы проследить это в связи с аксиомой Архимеда, мы сначала должны еще дать для этих криволинейных углов определение умножения на целое число. Если начать с рассмотрения окружности радиуса R, касающейся оси в точке О, то вполне естественно приписать -кратный угол касательной окружности радиуса Действительно, это определение не противоречит предыдущему определению, поскольку по этому последнему углы касательных окружностей, имеющих радиусы последовательно увеличиваются. Таким образом, при умножении угла а какой-нибудь касательной окружности на целое число всегда снова получаются углы касательных окружностей, и все эти кратные остаются, согласно нашему определению, по необходимости меньше, чем, скажем, угол b, образованный некоторой неподвижной секущей прямой, каким бы большим мы не брали число (рис. 140). Итак, здесь аксиома Архимеда действительно не удовлетворена-, поэтому углы касающихся окружностей нужно рассматривать как актуально бесконечно малые по сравнению с углом любой пересекающей прямой. Что же касается сложения двух таких углов, то в согласии с данным определением умножения угла на целое число для выполнения его складывают обратные величины радиусов, которые вообще служат здесь мерой актуально бесконечно малых углов.

Если же мы имеем произвольную окружность, проходящую через О (рис. 141), то под углом ее (с осью я) можно понимать сумму угла, образуемого касательной к ней с осью (и измеренного в обычном смысле), и ее собственного актуально бесконечно малого угла с ее касательной в только что определенном смысле.

Тогда можно сложение и умножение подобных углов свести к тем же действиям над их отдельными слагаемыми, чем вполне определяется выполнение операций над роговидными углами. Но в этой области аксиома Архимеда места не имеет; поэтому здесь оказываются недостаточными «Logoi» или обыкновенные действительные числа.

Рис. 140

Рис. 141

Вероятно, это хорошо было известно Евклиду (или даже Евдоксу), и он вполне сознательно исключает подобные системы величин посредством своей аксиомы.

Пользуясь современными средствами, можно существенно расширить область этих роговидных углов, причем определения еще более обобщаются и одновременно упрощаются, а именно, для этого нужно рассматривать все аналитические кривые, проходящие через О. Каждая такая кривая изображается степенным рядом

Мы будем говорить, что угол, образованный кривой 1 с осью больше или меньше угла, образованного кривой 2 с тою же осью, в зависимости от того, будет ли или если же , то решение вопроса зависит прежде всего от соотношений , а в случае, если то от соотношений и т. д. Ясно, что этим мы расположили углы всех аналитических кривых в одно определенное линейно упорядоченное множество, в котором, очевидно, содержатся также и углы окружностей, расположенные определенным выше образом.

Теперь мы можем условиться считать -кратной величиной угла кривой 1 с осью тот угол, который образует с осью кривая, определяемая рядом полученным из ряда для умножением его на .

Прежде мы должны были применять более сложную операцию, чтобы не выйти за пределы совокупности окружностей, а именно, мы заменяли касательную окружность радиуса R с разложением

окружностью радиуса

что в действительности только для первого члена разложения является умножением на n. Но и по новому более простому определению мы получаем снова неархимедову систему величин: кривая, разложение которой начинается с по умножении на сколь угодно большое всегда будет образовывать угол меньший, чем угол кривой, в разложении которой положительно. По существу, мы здесь повторили в несколько более наглядной форме только то, что мы уже проделали в первом томе. В разложении в степенной ряд

последовательные степени играют при этом толковании просто роль актуально бесконечно малых величин различного все возрастающего порядка.

Интересно, что последовательность роговидных углов можно уплотнить еще более, если присоединить к ней некоторые неаналитические кривые. Но только, чтобы было возможным сравнение по величине, они не должны бесконечно часто осциллировать (т. е. иметь бесконечно много колебаний) или, выражаясь точнее, не должны пересекать какую-либо аналитическую кривую бесконечное число раз.

Достаточно будет привести здесь в качестве примера кривую Она, как известно, обладает тем свойством, что все ее производные обращаются в нуль при (так что в этом месте ее вообще нельзя разложить в степенной ряд); поэтому она в конце концов оказывается под любой аналитической кривой. Следовательно, хотя мы уже раньше имели линейно упорядоченное множество роговидных углов, теперь мы имеем еще один роговидный угол, который вместе со всеми своими конечными кратными меньше, чем угол любой аналитической кривой с осью

Общие выводы.

На этом мы закончим эти соображения и, вообще, наше изучение Евклида. Я только резюмирую в заключение в виде нескольких положений то суждение о «Началах» Евклида, к которому нас приводят все эти размышления:

1. Великое историческое значение «Начал» Евклида состоит в том, что они передали последующим временам идеал полной (не имеющей пробелов) логической обработки геометрии.

2. Что касается выполнения, то многое проделано очень тонко, но многое другое оказывается принципиально отсталым с точки зрения наших современных взглядов.

3. Многочисленные важные детали — в том числе в начале первой книги — вследствие ненадежности текста остаются сомнительными.

4. Все изложение оказывается часто излишне тяжеловесным, так как Евклид не имел в своем распоряжении готовой арифметики.

5. Вообще, одностороннее подчеркивание логического затрудняет понимание всего содержания в целом и его внутренних связей.

Наше собственное-, отношение к обоснованию геометрии я хочу охарактеризовать еще тем, что я еще раз сопоставлю те две точки зрения, которые уже фигурировали в различных местах.

Одна из них связана с тем, что мы можем построить геометрию совершенно различными путями. Два таких пути мы рассмотрели более подробно. При одном построении мы выдвигали на первое место понятие группы движений, в частности группы параллельных переносов, а при другом начинали с аксиом конгруэнтности и. отодвигали параллельность на существенно более позднее место.

Это противопоставление очень хорошо оттеняет ту свободу, какую мы имеем при аксиоматическом обосновании геометрии. И как раз это следует здесь еще раз особенно подчеркнуть ввиду тех нетерпеливых утверждений, с которыми часто приходится встречаться в этом вопросе и которые имеют целью выставить то или иное основное понятие, отвечающее вкусу автора, как абсолютно простейшее и единственно пригодное для обоснования геометрии. В действительности же источником всех геометрических - основных понятий и аксиом является наивное геометрическое созерцание (интуиция). Из этого созерцания мы черпаем те данные, которые затем кладем в надлежаще идиализированном виде в основу логической трактовки предмета. Но для решения вопроса о том, на чем же именно следует остановить свой выбор, не может существовать никакого абсолютного критерия, и царящая здесь свобода ограничивается только тем единственным требованием, чтобы система аксиом действительно достигала своей цели, т. е. гарантировала построение геометрии без логических пробелов.

Другое замечание касается нашего отношения к аналитической геометрии и нашей критики, направленной против некоторых традиций, ведущих начало от Евклида, которые давно уже не соответствуют состоянию математических наук и поэтому должны быть устранены, наконец, из школьного преподавания. У Евклида геометрия благодаря своим аксиомам является строгим основанием для общей арифметики, охватывающей также и иррациональные числа. Это подчиненное положение арифметики по отношению к геометрии оставалось в силе даже еще в XIX столетии, но с тех пор наступил полный переворот.

В настоящее время как раз арифметика достигла первенства в качестве действительно основной дисциплины, и это является фактом, с которым приходится считаться при построении научной геометрии, т. е. геометрия должна опираться на результаты, получаемые в арифметике.

В этом именно смысле следует оценивать то отношение к аналитической геометрии, которого мы придерживались при нашем обосновании, да и вообще мы принципиально пользовались средствами анализа, трактуя геометрические вопросы.

На этом мы закончим наши соображения, касающиеся теорий чистой геометрии; надеюсь, что они дали вам желательный обзор всей этой области, поскольку она имеет хотя бы малейшее отношение к нуждам школы. А теперь в заключение я хочу, согласно моему обещанию, остановиться еще немного на вопросах преподавания геометрии.