Философское значение неевклидовой геометрии.
Прежде чем приступить к более точному математическому рассмотрению неевклидовой геометрии, я хочу хотя бы вкратце коснуться ее большого философского значения, благодаря которому она всегда встречала со стороны философов живой интерес, часто сопровождаемый резко отрицательным отношением.
Прежде всего эта дисциплина дает ответ на вопрос о том, какой характер имеют геометрические аксиомы, рассматриваемые с точки зрения чистой логики. А именно, из самого факта существования неевклидовой геометрии можно непосредственно заключить, что евклидова аксиома отнюдь не является следствием предпосланных ей основных понятий и аксиом и не имеется ничего такого, что логически понуждало бы нас к ее принятию. Действительно, заменяя ее противоречащим ей допущением и сохраняя неизменными все прочие аксиомы, мы не только не приходим ни к какому противоречию, но получаем неевклидову геометрию в качестве дисциплины, столь же безупречной логически, как и евклидова геометрия. Таким образом, та особенность нашего представления о пространстве, описание которой дает аксиома параллельности, во всяком случае, не является чисто логической необходимостью.
Но в таком случае спрашивается: нельзя ли разрешить вопрос об истинности аксиомы параллелей с помощью чувственной интуиции? И по этому вопросу неевклидова геометрия тоже дает важные указания, а именно: безусловно неверным является мнение, будто непосредственное чувственное восприятие учит нас существованию в точности одной параллели. Дело в том, что наше восприятие пространства отнюдь не обладает абсолютной точностью и что и здесь, как и во всякой другой области чувственного восприятия, мы не в состоянии воспринимать как различные те величины (отрезки, углы и т. д.), разность между которыми лежит ниже известного предела, так называемого порога. В частности, если через точку О провести две прямые чрезвычайно близко одну к другой (рис. 123), то мы наверное не будем в состоянии различить их между собой, если только угол между ними будет достаточно мал, например равен 1" или, если угодно, 
или еще меньше.
Поэтому представляется затруднительным вывести из непосредственного созерцания заключение, о том, проходит ли через О действительно одна и только одна параллель к g или же две, но отстоящие одна от другой всего лишь на такой незначительный угол. Мы почувствуем это еще яснее, если представим себе, что О лежит невероятно далеко от g, скажем на расстоянии от Сириуса до Земли или даже в миллионы раз дальше.
Рис. 123
При таких расстояниях чувственное созерцание совершенно теряет ту остроту, которую вообще считают свойственной ему, и наши глаза абсолютно неспособны различить, имеется ли одна или две параллели к данной прямой g сответственно определений параллели как предельного положения вращающегося луча.
С этим положением вещей неевклидова геометрия первого рода мирится фактически так же хорошо, как и евклидова. Как вы увидите еще яснее из тех математических формул, которые я сейчас сообщу, неевклидова геометрия первого рода содержит одну произвольную постоянную; оперируя ею надлежащим образом, можно сделать угол между обеими параллелями к g, проходящими через умеренно удаленную от g точку О, как угодно малым, и только по мере удаления точки О от g этот угол будет приобретать все более заметную величину.
Таким образом, поскольку верно то, что наше восприятие пространства охватывает только ограниченную его часть и притом с ограниченною точностью, наше восприятие может быть удовлетворено сколь угодно точно посредством некоторой НГ I.
Но совершенно аналогично обстоит дело и с НГ II. Необходимо только отдать себе отчет в том, что бесконечная длина прямых тоже не является обязательным выводом из непосредственного чувственного созерцания.
Мы можем проследить всякую прямую только в пределах некоторой конечной части пространства, поэтому мы не впадем в противоречие с нашими восприятиями, если скажем, что прямая имеет хотя и невероятно большую, но все же конечную длину, быть может, равную нескольким миллионам или даже еще большему числу расстояний до Сириуса;
фантазия может, конечно, придумывать здесь сколь угодно большие числа, выходящие за пределы всякой возможности непосредственного созерцания. Ввиду этих соображений можно как угодно точно представить геометрические отношения во всякой ограниченной части пространства также и посредством НГ II (тоже содержащей произвольный параметр).
Затронутые здесь логические и интуитивные факты, изложенные так, как они прдставляются с точки зрения математики, идут, конечно, в высокой степени вразрез с тем ортодоксальным пониманием пространства, которое многие философы связывают с именем Канта и согласно которому все теоремы геометрии должны иметь абсолютную силу. Этим объясняется, почему неевклидова геометрия вызвала столько раздражения и сопротивления в этих философских кругах с самого начала их знакомства с нею.
