Включение грассманова принципа детерминантов в инвариантно-теоретическое понимание геометрии. Экскурс о тензорах.

Теперь представляется уместным еще раз окинуть взглядом весь ход идей первого отдела, внутренняя суть которых теперь раскрывается яснее. В том, что грассмановы элементарные величины геометрии, выведенные нами там, принадлежат исключительно аффинной геометрии, мы убедились уже при специальном изучении аффинных преобразований (с. 108-133). Но грассманов принцип определителей, который доставил нам упомянутые величины, отнюдь не является — это мы можем теперь добавить — каким-то непонятным ухищрением, а представляет собой вполне естественное применение теории инвариантов в аффинной геометрии, т. е. в проективной геометрии с присоединением бесконечно удаленной плоскости. Появление на сцене обыкновенных определителей — отрезок, площадь, объем — уже достаточно выяснено только что разобранным примером.

Остается еще только показать, как систематика теории инвариантов приводит к общим грассмановым элементарным величинам, определяемым при помощи миноров прямоугольных матриц. Это в свою очередь можно лучше всего выяснить на рассмотрении случая, когда даны две точки в плоскости и требуется образовать эквивалент в смысле теории инвариантов принадлежащих этим точкам образов аффинной геометрии (линейный элемент, прямая,

Это можно немедленно поставить в связь со сказанным выше, если присоединить третью «неопределенную» точку и снова рассматривать фундаментальный инвариант:

как линейную форму относительно . Три коэффициента при этих переменных, т. е. миноры матрицы

являются, таким образом, величинами, характеризующими вновь определенный образ; это нас действительно приводит как раз к матрице, применявшейся ранее для определения линейного элемента 12. Точно таким же образом в пространстве можно образовать относительно инвариантную линейную или соответственно билинейную форму из трех или соответственно из двух точек присоединением одной или соответственно двух четверок неопределенных координат, причем коэффициенты полученной формы дают в полном согласии с нашим прежним определением координаты плоскостного элемента или соответственно пространственного линейного элемента. Я не имею возможности развить здесь более подробно эти указания, но они будут достаточны, надеюсь, для первоначальной ориентировки и должны побудить вас к дальнейшим собственным размышлениям.

Представляется более важным теперь, после того как мы включили принцип Грассмана в теорию инвариантов, поставить вопрос о его продуктивности и, в частности, сравнить его в этом смысле с тем принципом классификации, который был высказан для случая главной группы и дал нам там все основные геометрические образы.

Рациональное распространение этого принципа классификации на случай любой линейной группы преобразований напрашивается само собой. А именно, мы будем, согласно этому принципу, в каждой «геометрии» наряду с отдельными целыми рациональными функциями данных рядов величин (координат, коэффициентов, форм и т. д.), которые до сих пор давали нам инварианты, рассматривать также системы таких функций Если подобная система при всех подстановках соответствующей группы преобразуется в себя, т. е. если аналогичным образом составленные функции преобразованных рядов величин выражаются линейно через одни только с помощью коэффициентов, которые получаются однозначно определенным образом из коэффициентов преобразования, положенного в основу, то мы говорим, что эта система определяет некоторый образ соответствующей геометрии. Отдельные функции, из которых состоит система, называются компонентами образа. Решающим признаком для природы геометрического образа является поведение его компонент по отношению к преобразованиям группы, положенной в основу. Мы будем считать два геометрических образа принадлежащими одному и тому же виду, если их компоненты образуют две серии из одинакового числа выражений, которые при замене координат испытывают одну и ту же линейную постановку, будучи, таким образом, когредиентными согласно нашему прежнему выражению. Если система функций, определяющая геометрический образ, состоит из одной только функции, то линейная подстановка сводится к умножению на некоторый множитель, а функция является относительным инвариантом.

Эти абстрактные вещи я хочу разъяснить на простом примере из теории инвариантов тернарной области, которую мы будем интерпретировать в аффинной геометрии трехмерного пространства при неподвижном начале.

Если даны две точки то простейшей системой функций, в которой обе тройки координат входят однородным и симметричным образом, является система из девяти билиненных членов

В случае линейного преобразования в наших обычных обозначениях (см. с. 209—210) получаем

т. е. эти девять величин действительно образуют систему только что исследованного типа, так что мы будем их рассматривать как определяющие элементы некоторого образа нашей аффинной геометрии; этот образ и вообще всякую систему, состоящую из девяти величин, которые преобразуются согласно уравнениям (2), в последнее время называют тензором.

Рассматривая уравнения (2), нетрудно заметить, что из девяти величин (1) можно образовать, с одной стороны, шесть, а с другой стороны, три простые линейные комбинации, переходящие друг в друга путем линейной подстановки. Если представить себе величины (1) расположенными в виде квадратной таблицы

то этими комбинациями будут, во-первых, суммы членов, расположенных симметрично относительно диагонали

а во-вторых, разности тех же членов:

Формулы подстановок для систем величин (3) И (4) получаются непосредственно из уравнений (2). Это дает нам два новых образа нашей аффинной геометрии; образ, состоящий из шести величин (3), называют симметричным тензором, а образ, состоящий из трех величин (4), является уже знакомым нам плоскостным элементом.

Название тензор прилагается, конечно, ко всякой системе величин, которая преобразуется когредиентным образом. Оправдание прилагательного «симметричный» мы дадим немного позже.

Геометрическое значение трех величин (4) нам известно (ср. с. 49—50): это — удвоенные проекции треугольника, образованного точками и началом координат, с надлежащим направлением обхода на координатные плоскости; мы здесь имеем как раз один из первых образов, даваемых грассмановым принципом определителей. Можно, вообще, высказать такое предложение: систематическое нахождение образов аффинной геометрии с помощью нашего классификационного принципа с необходимостью приводит к грассманову принципу определителей и к устанавливаемым с его помощью геометрическим образам. Разумеется, я не могу входить здесь во все детали; ограничусь указанием на то, что можно получить все ранее рассмотренные образы, трактуя совершенно аналогичным образом общую аффинную геометрию на основании принципа Кэли с помощью кватернарной теории инвариантов (ср. с. 230—232).

Но важным результатом нашего исследования является установление того, что грассманов принцип определителей представляет собой нечто специальное и сам по себе отнюдь не дает всех образов аффинной геометрии. Напротив, в тензорах (1) и (3) мы имеем существенно новые геометрические образы.

Имея в виду большое значение этих образов для многих областей физики, например для учения об упругих деформациях и для теории относительности, скажем еще несколько слов о них. Прежде всего сделаем несколько замечаний, которые относятся к названию этих геометрических величин и должны помочь читателю ориентироваться в новейшей литературе по тензорному исчислению.

Слово «тензор» в первоначальном изложении исчисления кватернионов использовалось у Гамильтона в другом смысле, чем здесь. Если — некоторый кватернион, то он называет выражение не модулем кватерн ниона, а его тензором.

Это название, введенное Гамильтоном, оправдывается тем, что умножение на кватернион можно истолковать геометрически (что было подробно разъяснено в первом томе, с. 99—101 и примечание 72) как поворотное растяжение при неподвижном начале координат. При этом в качестве мерила растяжений фигурирует как раз радикальное выражение, которое у Гамильтона названо - тензором. В тесной связи с этим находится употребление термина «тензор» в работах Фохта по кристаллофизике. Он обозначает этим словом направленные величины, которые соответствуют таким процессам, как продольное растяжение или сжатие прямолинейного стержня, к обоим концам которого приложены силы, действующие вдоль оси стержня в противоположные стороны. Подобный тензор можно было бы нагллядно изобразить отрезком со стрелками на обоих концах, направленными в разные стороны (см. рис. 100).

Рис. 100

Рис. 101

Характер направленности так понимаемого тензора можно обозначить термином «двусторонний», а для вектора, в противоположность этому, употреблять слово «односторонний». В физике такие тензоры часто фигурируют как тензорные тройки, т. е. по три и со взаимно - ортогональными направлениями ((рис. 101). Мы познакомились раньше (ср. с. 115), с чистой однородной деформацией (чистым аффинным преобразованием), представляющей собой равномерное растяжение пространства по трем взаимно перпендикулярным направлениям, которое оставляет начало координат на месте. Вместо этого мы можем сказать теперь так: чистая однородная деформация геометрически изображается тензорной тройкой. Часто употребляемое теперь значение слова «тензор» мы получим, если станем рассматривать совокупность таких трех растяжений пространства как одну геометрическую величину и, опуская слово «тройка», будем обозначать именно эту величину словом «тензор».

Рассматриваемое в таком смысле понятие тензора в точности совпадает с тем понятием, которое мы выше обозначили термином «симметричный тензор». Действительно, чистая однородная деформация, не изменяющая положения начала координат, изображается подстановками такой структуры:

Здесь числовые тройки можно истолковать как точечные координаты в одной и той же системе прямоугольных координат. Схема коэффициентов (матрица) этого преобразования симметрична относительно главной диагонали. Если теперь перейти к новой системе прямоугольных координат, сохраняя старое начало, то получим, как показывает простое вычисление (для перехода от и от служат соответственно одни и те же формулы), следующее новое изображение рассматриваемой деформации:

При этом относительно шести коэффициентов справедливы следующие утверждения:

1) они линейно зависят от шести коэффициентов и только от них, определяя, таким образом, некоторую геометрическую величину,

2) они преобразуются точно так же, как и билинейные относительно координат выражения (3), которые мы назвали (с. 233) компонентами симметричного тензора.

Прилагательное «симметричный» оправдывается структурой схемы коэффициентов формул преобразований (5), (6).

Переходя теперь к общему аффинному преобразованию, сохраняющему начало координат:

находим совершенно аналогично предыдущему, что в геометрии ортогональных преобразований девять коэффициентов преобразуются таким же точно образом, как девять произведений координат (1), и представляют собой поэтому компоненты некоторой величины такого же рода, как и эти последние. При принятой нами терминологии, согласно которой употребление слова «тензор» не ограничивается исключительно чистыми однородными деформациями, это означает следующее: схема коэффициентов общего аффинного преобразования представляет собой некоторый тензор.

В литературе встречается еще большое число других названий для этого понятия. Вот некоторые из наиболее часто употребляемых:

1) аффинор (по причине связи с аффинными преобразованиями)

2) линейная вектор-функция;

3) диада и диадик; впрочем, первое из этих двух слов употреблялось первоначально только для одного особенного ниже рассматриваемого случая.

Компоненты плоскостной величины (4) тоже можно рассматривать как коэффициенты некоторого преобразования, а именно, одного из преобразований следующего вида:

Действительно, коэффициенты этой подстановки ведут себя, как нетрудно убедиться, по отношению к преобразованию прямоугольных координат так же, как и билинейные выражения (4). По причине характера структуры схемы коэффициентов формул (8) (симметрия относительно главной диагонали с переменой знака) определяемую ими величину называют также антисимметричным тензором 133).

С геометрической точки зрения, как известно, формулы (7) допускают истолкование в смысле общей однородной деформации, формулы смысле чистой (без вращения) деформации, а формулы смысле бесконечно малого поворота. Таким образом, тому формальному процессу, при помощи которого мы вывели (с. 233) из произведений координат (1) симметричный тензор (3) и антисимметричный тензор (4), в наглядном представлении соответствует разложение однородной бесконечно малой деформации на чистую деформацию и поворот.

До сих пор мы ограничивались при замене системы координат одними только ортогональными преобразованиями. Остается дать некоторые дополнительные указания, относящиеся к тому случаю, когда переходят от прямоугольной системы координат к косоугольной или когда вообще с самого начала вводят как косоугольные декартовы координаты. (Ограничение, требующее неподвижности начала координат, остается и здесь в силе.) Этим мы переходим от геометрии главной группы к геометрии аффинной группы. Изучение поведения коэффициентов подстановки (7) для этой группы по отношению к преобразованиям координат показывает, что хотя они тоже изображают компоненты некоторой геометрической величины, но они преобразуются не так, как произведения координат (1), но контрагредиентно по отношению к ним. Аналогично обстоит дело с коэффициентами преобразований (6) и (8). Можно показать, что один и тот же тензор (например, одна и та же однородная деформация) может быть задан по отношению к некоторой системе координат как посредством компонент вида (1), так и при помощи компонент вида коэффициентов подстановки (7). Первые называют «когредиентными», а последние «контрагредиентными» компонентами тензора. Вместо «когредиентный» и «контрагредиент-ный» часто говорят еще «контравариантный» и «ко-вариантный». Различие между обоими видами компонент такое же, как между точечными и плоскостными координатами.

Другое истолкование значения слова «тензор», существенно более общее по сравнению с тем его значением, которому мы отдали предпочтение, станет понятным, если сначала исследовать поведение однородных форм по отношению к замене координат. На с. 211—212 мы уже провели это исследование (пользуясь несколько отличными обозначениями) для случая квадратичной формы

Мы нашли, что коэффициенты этой формы испытывают линейно однородное и контрагредиентное преобразование по отношению к величинам составленным из точечных координат. А эти последние преобразуются, как непосредственно видно, когредиентно к выражениям (3). Этот результат можно высказать в такой форме: коэффициенты квадратичной формы являются контрагредиентными, а члены -когредиентными компонентами некоторого симметричного тензора. Аналогично обстоит и с любой билинейной формой. О ней говорят по примеру Гиббса, что она определяет, в частности, некоторую диаду, если удается записать ее в виде произведения двух линейных форм. Имея однородную полилинейную форму точечных координат, можно с помощью несложного вычисления показать, что ее коэффициенты тоже подвергаются однородной и линейной подстановке, а именно, контрагредиентно по отношению к соответственным точечным координатам.

Обобщение понятия тензора, о котором мы только что говорили, состоит в том, что всякую подобную величину называют тензором и применяют это название не только в связи с билинейными формами, как это мы делали до сих пор. В этом общем значении слово «тензор» стали применять, в частности, Эйнштейн и его ученики. Прежде вместо этого говорили о линейных, квадратичных, билинейных, трилинейных, кубических и т. п. формах.

К различению терминов на практике присоединяется еще стремление обозначать систему компонент какого-нибудь тензора одною толбко буквою и указывать вычисления с тензорами посредством символического сочетания таких букв, стоящих рядом друр с другом.

Все эти вещи сами по себе очень просты и затрудняют читателя только по той причине, что разные авторы пользуются различными способами обозначений. Здесь мы встречаемся в еще большей степени с теми же неудобствами, которые мы уже отмечали в связи с векторным исчислением и которые, по-видимому, невозможно совершенно устранить. Но мы не могли не упомянуть об этих неудобствах, так как вся современная литература страдает от них.