Критические замечания о традиционной постановке преподавания.

2. Теперь я хотел бы бросить взгляд на то, какие научные последствия имело это сохранение в преподавании исторически сложившейся изолированности отдельных областей. Конечно, элементарная геометрия даже в ее вызывающей мои нарекания изолированности во многих случаях дает повод к постановке научных проблем.

Я не могу, к сожалению, останавливаться здесь на положительной стороне возникающих при этом интересных проблем и должен, наоборот, ограничиться подчеркиванием некоторых нелепостей, возникших в результате изолированного положения элементарной геометрии вдали от общего развития математики. Оказывается, что некоторые вопросы, представляющие с высшей точки зрения лишь весьма незначительный интерес, получили очень широкое развитие и тоже вошли в школьное преподавание.

a) В этом отношении я должен прежде всего упомянуть о дисциплине, носящей в школе название алгебраической геометрии (в России ее чаще называли приложением алгебры к геометрии), которая учит сначала вычислять элементы треугольника или других фигур, а потом уже строить их каждый в отдельности. Чтобы получить мерило ценности этой области, спросите себя, приходилось ли вам когда-либо пользоваться ею в высшей школе или могли ли бы вы там ею воспользоваться? Наверное, нет; мы имеем здесь дело с боковой веточкой, которую искусственно культивировали ради нее самой и которая никогда не вступала в живой контакт с другими ветвями науки.

b) Пользуется славой также область, посвященная построению треугольников (отдел так называемых «задач на построение»).

Весьма хорошо и полезно вообще заниматься построением фигур, и я сам, конечно, всегда рекомендую пользоваться во всех областях графическими методами.

Но в школе ограничиваются почти исключительно построением треугольников и притом лишь задачами, разрешимыми при помощи циркуля и линейки. Как известно, можно получить множество разнообразнейших задач этого рода, частью очень трудных, если выбирать три данных элемента треугольника самым различным и к тому же, как удачно было сказано, «возможно более нецелесообразным образом».

При этом действительному выполнению найденных построений часто не придают никакого значения, и они фактически оказываются в большинстве случаев слишком сложными для практики по причине искусственного ограничения в средствах (инструментах). Конечно, с такими построениями связаны также теоретически очень интересные и глубокие вопросы; некоторые примеры рассмотрены нами в первом томе этой книги, я имею в виду алгебраические доказательства невозможности, которые показывают, почему при некоторых построениях (например, при построении правильного семиугольника или при делении произвольного угла на три части) как раз невозможно обойтись только циркулем и линейкой. Но в школе об этом часто не говорится даже в форме намека, и, таким образом, у многих людей снова и снова создается убеждение в разрешимости всякой геометрической задачи с помощью циркуля и линейки. В этом, я думаю, надо искать объяснение того, почему никогда не вымирает толпа тех искателей квадратуры круга и трисекции угла, о которых я уже говорил вам в прошлом семестре.

с) Наконец, я должен еще упомянуть о так называемой геометрии треугольника, т. е. об учении о «замечательных» точках и прямых в треугольнике, которое получило совершенно особое развитие в качестве самостоятельной дисциплины в недрах школьной математики. И в этом случае вы должны будете согласиться со мною в том, что эта область настолько же отступает на задний план при дальнейшем изучении математики, насколько она обыкновенно выдвигается вперед в школьном преподавании.

Выше было уже объяснено, в каком уголке проективной геометрии имеется место для этой геометрии треугольника (ср. с. 242—243): речь идет о теории инвариантов тех плоских фигур, которые состоят из трех произвольных точек и из обеих мнимых циклических точек их плоскости, следовательно, действительно, о чем-то совершенно специальном.

Если мы желаем, кроме этих критических замечаний общего характера, рассмотреть детально современные формы преподавания геометрии, то нам придется изучить порознь его развитие в разных странах, так как оно сложилось, конечно, в них совершенно различным образом; при этом мы вынуждены, разумеется, ограничиться здесь лишь важнейшими культурными странами, хотя бы Англией, Францией, Италией и Германией.